Question

Cuatro cubos con aristas de longitud $1,$ $2,$ $3,$ y $4$ se apilan como se muestra. ¿Cuál es la longitud de la parte de $\overline{XY}$ contenida en el cubo de arista $3$ ?

Four cubes with edge lengths $1,$ $2,$ $3,$ and $4$ are stacked as shown. What is the length of the portion of $\overline{XY}$ contained in the cube with edge length $3?$

$\dfrac{3\sqrt{33}}5$

$2\sqrt3$

$\dfrac{2\sqrt{33}}3$

$4$

$3\sqrt2$

Respuesta: A

Conceptos:Geometría 3D fórmula de la distancia semejanza

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

El segmento completo $XY$ tiene un cambio vertical de $10$ .

The whole segment $XY$ has vertical change $10$

Pista grande:

La parte dentro del cubo de lado $3$ es la misma fracción del segmento completo que su cambio vertical.

The part inside the side- $3$ cube is the same fraction of the full segment as its vertical change

Solución:

La distancia de $X$ a $Y$ en la dirección del eje $z$ es $1 + 2 + 3 + 4 = 10.$

Las distancias en las direcciones de los ejes $x$ e $y$ son ambas $4.$

Por tanto, $XY = \sqrt{4^2 + 4^2 + 10^2} = 2\sqrt{33}.$

Usando coordenadas $X=(0,0,10)$ y $Y=(4,4,0)$ , la recta corta las caras superior e inferior del cubo de lado $3$ en $(\frac65,\frac65,7)$ y $(\frac{12}5,\frac{12}5,4)$ . Ambos puntos están dentro de esas caras cuadradas, así que la porción dentro del cubo realmente tiene cambio vertical $3$ .

Sea la longitud buscada $x.$ Usando triángulos semejantes, tenemos que $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2\sqrt{33}}{10}$ $x = \dfrac{3\sqrt{33}}{5}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The distance between $X$ and $Y$ with respect to the $z$ -axis is $1 + 2 + 3 + 4 = 10.$

Both the distances along the $x$ and $y$ -axes are $4.$

Then $XY = \sqrt{4^2 + 4^2 + 10^2} = 2\sqrt{33}.$

Using coordinates $X=(0,0,10)$ and $Y=(4,4,0)$ , the line meets the top and bottom of the side- $3$ cube at $(\frac65,\frac65,7)$ and $(\frac{12}5,\frac{12}5,4)$ . Both points lie inside those square faces, so the portion inside this cube really does have vertical change $3$ .

Let the desired length be $x.$ Then using similar triangles, we have that $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2\sqrt{33}}{10}$ $x = \dfrac{3\sqrt{33}}{5}.$

Thus, A is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años