Question

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son los enteros $a,$ $720,$ y $b,$ donde $a \lt 720 \lt b.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del menor valor posible de $b$ ?

The first three terms of a geometric sequence are the integers $a,$ $720,$ and $b,$ where $a \lt 720 \lt b.$ What is the sum of the digits of the least possible value of $b?$

$9$

$12$

$16$

$18$

$21$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica divisibilidad optimización

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Por $720^2 = ab,$ la razón común es racional; escríbela como $\tfrac{p}{q}$ en su forma más simple con $p \gt q$ .

$720^2 = ab,$ so the common ratio is rational; write it as $\tfrac{p}{q}$ in lowest terms with $p \gt q$

Pista grande:

Tanto $p$ como $q$ deben dividir a $720;$ minimiza $b = 720 \cdot \tfrac{p}{q}$ usando la menor razón $\tfrac{p}{q} \gt 1$ .

Both $p$ and $q$ must divide $720;$ minimize $b = 720 \cdot \tfrac{p}{q}$ using the smallest ratio $\tfrac{p}{q} \gt 1$

Solución:

Como $720^2 = ab,$ la razón común $r = \tfrac{720}{a} = \tfrac{b}{720}$ es racional. Escribe $r = \tfrac{p}{q}$ en su forma más simple con $p \gt q.$ Entonces $a = \tfrac{720q}{p}$ y $b = \tfrac{720p}{q}$ son enteros, lo que obliga a que $720$ sea divisible por $p$ y por $q.$ Para hacer $b$ lo más pequeño posible, queremos la menor razón $\tfrac{p}{q} \gt 1$ con $720$ divisible por $p$ y por $q,$ que es $\tfrac{16}{15}.$ Eso da $b = 720 \cdot \tfrac{16}{15} = 768$ (y $a = 675$ ). La suma de dígitos es $7 + 6 + 8 = 21.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Since $720^2 = ab,$ the common ratio $r = \tfrac{720}{a} = \tfrac{b}{720}$ is rational. Write $r = \tfrac{p}{q}$ in lowest terms with $p \gt q.$ Then $a = \tfrac{720q}{p}$ and $b = \tfrac{720p}{q}$ are integers, which forces $720$ to be divisible by $p$ and by $q.$ To make $b$ smallest, we want the smallest ratio $\tfrac{p}{q} \gt 1$ with $720$ divisible by both $p$ and $q,$ which is $\tfrac{16}{15}.$ That gives $b = 720 \cdot \tfrac{16}{15} = 768$ (and $a = 675$ ). The digit sum is $7 + 6 + 8 = 21.$ Thus, E is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años