Question

La curva cerrada de la figura está formada por $9$ arcos circulares congruentes, cada uno de longitud $\dfrac{2\pi}{3},$ donde cada uno de los centros de las circunferencias correspondientes está entre los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ ¿Cuál es el área encerrada por la curva?

The closed curve in the figure is made up of $9$ congruent circular arcs each of length $\dfrac{2\pi}{3},$ where each of the centers of the corresponding circles is among the vertices of a regular hexagon of side $2.$ What is the area enclosed by the curve?

$2\pi+6$

$2\pi+4\sqrt{3}$

$3\pi+4$

$2\pi+3\sqrt{3}+2$

$\pi+6\sqrt{3}$

Respuesta: E

Conceptos:sector circular polígono regular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Cada arco es un arco de $120^\circ$ de una circunferencia unitaria.

Each arc is a $120^\circ$ arc of a unit circle

Pista grande:

Reorganiza las piezas de sector alrededor del hexágono regular.

Rearrange the sector pieces around the regular hexagon

Solución:

Cada arco tiene radio $1$ y longitud $\frac{2\pi}{3},$ así que todos los sectores circulares correspondientes tienen la misma área. Como muestra el diagrama, las piezas de sector se pueden reacomodar: todo lo que se añade al hexágono regular se junta para formar exactamente un círculo unitario.

El hexágono regular está formado por seis triángulos equiláteros de lado $2,$ así que su área es $6\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=6\sqrt3.$ Al añadir el círculo unitario, el área total encerrada es $\pi+6\sqrt3.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Each arc has radius $1$ and length $\frac{2\pi}{3},$ so the corresponding circular sectors all have the same area. As the diagram shows, the sector pieces may be rearranged: everything added to the regular hexagon combines to exactly one unit circle.

The regular hexagon is made of six equilateral triangles of side $2,$ so its area is $6\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=6\sqrt3.$ Adding the unit circle gives a total enclosed area of $\pi+6\sqrt3.$

Thus, E is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años