Question

Cuando Ringo coloca sus canicas en bolsas con $6$ canicas por bolsa, le sobran $4$ canicas. Cuando Paul hace lo mismo con las suyas, le sobran $3$ canicas. Ringo y Paul juntan sus canicas y las colocan en tantas bolsas como sea posible, con $6$ canicas por bolsa. ¿Cuántas canicas sobrarán?

When Ringo places his marbles into bags with $6$ marbles per bag, he has $4$ marbles left over. When Paul does the same with his marbles, he has $3$ marbles left over. Ringo and Paul pool their marbles and place them into as many bags as possible, with $6$ marbles per bag. How many marbles will be left over?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Suma los dos residuos módulo $6$ .

Add the two remainders modulo $6$

Pista grande:

$4+3$ deja residuo $1$ al dividir entre $6$ .

$4+3$ leaves remainder $1$ when divided by $6$

Solución:

Como las canicas de Ringo, al dividirse entre $6,$ dejan residuo $4,$ concluimos que tiene $6x+4$ canicas para algún $x.$

Con la misma lógica, también concluimos que Paul tiene $6y+3$ canicas para algún $y.$

Por lo tanto, el número total de canicas es $(6x+4)+(6y+3)$ $= 6(x+y+1)+1$ que, al dividirse entre $6,$ deja residuo $1$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

As we know that when Ringo’s marbles are divided by $6,$ we have a remainder of $4,$ we conclude that he has $6x+4$ marbles for some $x.$

Using the same logic, we can also conclude that Paul has $6y+3$ marbles for some $y.$

Therefore, the total number of marbles is $(6x+4)+(6y+3)$ $= 6(x+y+1)+1$ which, when divided by $6,$ only leaves $1$ left over.

Thus, the correct answer is A .

2012 AMC 10B Problema 4

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años