Question

El número $2013$ tiene la propiedad de que su cifra de las unidades es la suma de sus otras cifras, es decir $2+0+1=3.$ ¿Cuántos enteros menores que $2013$ pero mayores que $1000$ tienen esta propiedad?

The number $2013$ has the property that its units digit is the sum of its other digits, that is $2+0+1=3.$ How many integers less than $2013$ but greater than $1000$ have this property?

$33$

$34$

$45$

$46$

$58$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos análisis por casos número triangular

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Cuenta los números de $1001$ a $1999$ según su cifra de las unidades.

Count numbers from $1001$ to $1999$ by their units digit

Pista grande:

Trata por separado el pequeño rango de $2000$ a $2012$ .

Handle the small range from $2000$ to $2012$ separately

Solución:

Dadas las tres primeras cifras, si su suma es menor o igual que $9,$ se crea un número con la propiedad.

Ahora separamos los casos según la cifra de los millares.

Si la cifra de los millares es $1,$ entonces la suma de las cifras de las centenas y las decenas debe ser menor o igual que $8.$ Para cada suma posible $s,$ hay $s+1$ formas de elegir las otras cifras, ya que la cifra de las centenas puede ir desde $0$ hasta $s.$

Así, este caso da el noveno número triangular: $\dfrac{9\cdot 10}2 =45.$

Si la cifra de los millares es $2,$ entonces el único número que cumple la condición y es menor que $2013$ es $2002,$ lo que da un total de $46$ casos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Once the first three digits are given, their sum determines the units digit, provided that the sum is at most $9.$

We separate the possibilities according to the thousands digit.

If the thousands digit is $1,$ then the sum of the hundreds and tens digits must be at most $8.$ For each possible sum $s,$ there are $s+1$ choices, because the hundreds digit can range from $0$ to $s.$

Thus, this case gives the ninth triangular number: $\dfrac{9\cdot 10}2 =45.$

If the thousands digit is $2,$ the only qualifying number below $2013$ is $2002,$ giving $46$ cases in total.

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 10B Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años