Question

Tres enteros positivos son cada uno mayores que $1,$ tienen un producto de $27000 ,$ y son coprimos dos a dos. ¿Cuál es su suma?

Three positive integers are each greater than $1,$ have a product of $27000 ,$ and are pairwise relatively prime. What is their sum?

$100$

$137$

$156$

$160$

$165$

Coloca cada factor de potencia de primo completo en uno de los tres números.

Put each prime-power factor wholly into one of the three numbers

Coprimos dos a dos significa que ningún primo puede aparecer en dos números distintos.

Pairwise relatively prime means no prime can appear in two different numbers

Solo uno de ellos es múltiplo de $2,$ solo uno de ellos es múltiplo de $3,$ y solo uno de ellos es múltiplo de $5.$

Como cada uno de los enteros positivos es mayor que $1,$ cada uno de ellos debe ser múltiplo de uno de los primos dados.

Ahora, $27000=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3,$ por lo que los números deben ser $2^3,3^3,5^3,$ y su suma es $160.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Only one number is a multiple of $2,$ only one is a multiple of $3,$ and only one is a multiple of $5.$

Since each positive integer is greater than $1,$ each must be a multiple of one of these primes.

Now $27000=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3.$ Therefore, the numbers must be $2^3,3^3,5^3,$ and their sum is $160.$

Thus, the correct answer is D.