Question

Los puntos $(\sqrt{\pi}, a)$ y $(\sqrt{\pi}, b)$ son puntos distintos de la gráfica de la ecuación $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$ ¿Cuál es el valor de $|a-b|$ ?

Points $(\sqrt{\pi}, a)$ and $(\sqrt{\pi}, b)$ are distinct points on the graph of $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$ What is $|a-b|?$

$1$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\sqrt{1+\pi}$

$1 + \sqrt{\pi}$

Respuesta: C

Conceptos:completar el cuadrado cuadrática

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Sustituye $x=\sqrt{\pi}$ y completa un cuadrado en $y$ .

Substitute $x=\sqrt{\pi}$ and complete a square in $y$

Pista grande:

Los dos valores de $y$ son simétricos respecto a $\pi$ .

The two $y$ -values are symmetric around $\pi$

Solución:

Sustituye $x=\sqrt{\pi}$ . Entonces $x^2=\pi$ y $x^4=\pi^2$ , así que la ecuación se convierte en $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

Por lo tanto $(y-\pi)^2=1$ , lo que da los dos valores posibles $y=\pi+1$ y $y=\pi-1$ . Su distancia es $2$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Substitute $x=\sqrt{\pi}$ . Then $x^2=\pi$ and $x^4=\pi^2$ , so the equation becomes $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

Hence $(y-\pi)^2=1$ , giving the two possible values $y=\pi+1$ and $y=\pi-1$ . Their distance is $2$ .

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años