Question

Un cuadrilátero está inscrito en un círculo de radio $200\sqrt{2}.$ Tres de los lados de este cuadrilátero tienen longitud $200.$ ¿Cuál es la longitud del cuarto lado?

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius $200\sqrt{2}.$ Three of the sides of this quadrilateral have length $200.$ What is the length of the fourth side?

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

$300\sqrt{2}$

$500$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrilátero cíclico cuerda triple-angle identity

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Cuerdas iguales corresponden a ángulos centrales iguales.

Equal chords give equal central angles

Pista grande:

Si una cuerda de $200$ unidades subtiende un ángulo $2\theta$ , usa la fórmula de la cuerda y $\sin(3\theta)$

If a $200$ -unit chord subtends angle $2\theta$ , use the chord formula and $\sin(3\theta)$

Solución:

Llama $ABCD$ al cuadrilátero, con $AB=BC=CD=200$ . Sea $2\theta$ el ángulo central que subtiende cada una de estas cuerdas iguales. La fórmula de la cuerda da $200=2(200\sqrt2)\sin\theta,$ así que $\sin\theta=\frac{1}{2\sqrt2}$ . En particular, $\theta<30^\circ$ , por lo que el menor ángulo central subtendido por $AD$ es $6\theta<180^\circ$ .

Por lo tanto, un nuevo uso de la fórmula de la cuerda da $AD=2(200\sqrt2)\sin(3\theta).$ Usando $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ , obtenemos $\begin{aligned} \sin(3\theta) &=\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2} \\ &=\frac{5}{4\sqrt2}. \end{aligned}$

Por lo tanto $AD=400\sqrt2\cdot\frac{5}{4\sqrt2}=500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Label the quadrilateral $ABCD$ , with $AB=BC=CD=200$ . Let each of these equal chords subtend central angle $2\theta$ . The chord formula gives $200=2(200\sqrt2)\sin\theta,$ so $\sin\theta=\frac{1}{2\sqrt2}$ . In particular, $\theta<30^\circ$ , so the smaller central angle subtended by $AD$ is $6\theta<180^\circ$ .

Therefore another use of the chord formula gives $AD=2(200\sqrt2)\sin(3\theta).$ Using $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ , we obtain $\begin{aligned} \sin(3\theta) &=\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2} \\ &=\frac{5}{4\sqrt2}. \end{aligned}$

Hence $AD=400\sqrt2\cdot\frac{5}{4\sqrt2}=500.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 10A Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años