Question

Un entero positivo $n$ satisface la ecuación $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

A positive integer $n$ satisfies the equation $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440.$ What is the sum of the digits of $n?$

$2$

$5$

$10$

$12$

$15$

Respuesta: C

Conceptos:factorial manipulación algebraica dígitos

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Factoriza $(n+1)!$ y $(n+2)!$ en términos de $n!$ .

Factor $(n+1)!$ and $(n+2)!$ in terms of $n!$

Pista grande:

Divide entre $n!$ y resuelve la ecuación cuadrática resultante.

Divide by $n!$ and solve the resulting square equation

Solución:

Podemos reescribir el lado izquierdo como $(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!$ $=((n+2)^2-1)n!,$ así que $((n+2)^2-1) n! = 440 n!$ Por lo tanto, $(n+2)^2=441,$ de modo que $n=19.$ La suma de sus dígitos es $10.$

Así, la respuesta es C.

We can rewrite the left side as $(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!$ $=((n+2)^2-1)n!,$ so $((n+2)^2-1) n! = 440 n!$ Therefore, $(n+2)^2=441,$ so $n=19.$ The sum of its digits is $10.$

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B Problema 6

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años