Question

El cuadrilátero $ABCD$ satisface $\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ},$ $AC=20,$ y $CD=30.$ Las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se cortan en el punto $E,$ y $AE=5.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCD$ ?

Quadrilateral $ABCD$ satisfies $\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ},$ $AC=20,$ and $CD=30.$ Diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ intersect at point $E,$ and $AE=5.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$330$

$340$

$350$

$360$

$370$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica ángulo inscrito descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Coloca $AC$ sobre el eje $x$ y usa el punto conocido $E$ .

Put $AC$ on the $x$ -axis and use the known point $E$

Pista grande:

El punto $B$ está tanto en la recta $DE$ como en la circunferencia de diámetro $AC$ .

Point $B$ lies both on line $DE$ and on the circle with diameter $AC$

Solución en video:

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Solución escrita:

Coloca $A=(0,0)$ y $C=(20,0)$ . Como $\angle ACD=90^\circ$ y $CD=30$ , toma $D=(20,30)$ . El punto $E$ es $(5,0)$ , así que la recta $BD$ tiene ecuación $y=2(x-5)$ .

Como $\angle ABC=90^\circ$ , el punto $B$ está en la circunferencia de diámetro $AC$ : $(x-10)^2+y^2=100$ . Al intersecarla con $y=2(x-5)$ se obtiene $x=2$ o $10$ . El cuadrilátero convexo usa $B=(2,-6)$ .

Entonces $[ACD]=\dfrac12\cdot20\cdot30=300$ , y $[ABC]=\dfrac12\cdot20\cdot6=60$ . El área total es $360$ . Así, D es la respuesta correcta.

Place $A=(0,0)$ and $C=(20,0)$ . Since $\angle ACD=90^\circ$ and $CD=30$ , take $D=(20,30)$ . The point $E$ is $(5,0)$ , so line $BD$ has equation $y=2(x-5)$ .

Because $\angle ABC=90^\circ$ , point $B$ lies on the circle with diameter $AC$ : $(x-10)^2+y^2=100$ . Intersecting with $y=2(x-5)$ gives $x=2$ or $10$ . The convex quadrilateral uses $B=(2,-6)$ .

Then $[ACD]=\dfrac12\cdot20\cdot30=300$ , and $[ABC]=\dfrac12\cdot20\cdot6=60$ . The total area is $360$ . Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 20