Question

El trapecio $ABCD$ cumple $\overline{AB}\parallel\overline{CD},$ $BC=CD=43,$ y $\overline{AD}\perp\overline{BD}.$ Sea $O$ la intersección de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD},$ y sea $P$ el punto medio de $\overline{BD}.$

Dado que $OP=11,$ la longitud de $AD$ se puede escribir en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

Trapezoid $ABCD$ has $\overline{AB}\parallel\overline{CD},$ $BC=CD=43,$ and $\overline{AD}\perp\overline{BD}.$ Let $O$ be the intersection of the diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD},$ and let $P$ be the midpoint of $\overline{BD}.$

Given that $OP=11,$ the length of $AD$ can be written in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $m+n?$

$65$

$132$

$157$

$194$

$215$

Respuesta: D

Conceptos:trapecio semejanza Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Usa el triángulo isósceles para obtener un triángulo rectángulo que involucre el punto medio de $BD$ .

Use the isosceles triangle to get a right triangle involving the midpoint of $BD$

Pista grande:

El punto de intersección $O$ divide las diagonales en la razón de las bases paralelas.

The intersection point $O$ splits the diagonals in the ratio of the parallel bases

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $BC=CD,$ la mediana desde $C$ hasta $BD$ es perpendicular a $BD.$ Por lo tanto, $\triangle BPC$ es un triángulo rectángulo. Sea $\angle DBC=\alpha.$ Como $AB\parallel CD,$ también tenemos $\angle ABD=\alpha,$ así que $\triangle BPC\sim\triangle BDA.$

Como $P$ es el punto medio de $BD,$ tenemos $\frac{BD}{BP}=2.$ En la semejanza, $BC$ corresponde a $AB,$ así que

$\begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}$

Además, $\triangle ABO\sim\triangle CDO,$ así que

$\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.$

Como $OP=11$ y $P$ es el punto medio de $BD,$ escribimos $BP=PD=t.$ Entonces $BO=t+11$ y $OD=t-11,$ así que

$\frac{t+11}{t-11}=2.$

Esto da $t=33,$ de modo que $BD=66.$ Finalmente, $\triangle ABD$ es rectángulo, así que

$\begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}$

Así, $m+n=4+190=194.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Because $BC=CD,$ the median from $C$ to $BD$ is perpendicular to $BD.$ Thus $\triangle BPC$ is a right triangle. Let $\angle DBC=\alpha.$ Since $AB\parallel CD,$ we also have $\angle ABD=\alpha,$ so $\triangle BPC\sim\triangle BDA.$

Since $P$ is the midpoint of $BD,$ we have $\frac{BD}{BP}=2.$ In the similarity, $BC$ corresponds to $AB,$ so

$\begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}$

Also, $\triangle ABO\sim\triangle CDO,$ so

$\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.$

Since $OP=11$ and $P$ is the midpoint of $BD,$ write $BP=PD=t.$ Then $BO=t+11$ and $OD=t-11,$ so

$\frac{t+11}{t-11}=2.$

This gives $t=33,$ hence $BD=66.$ Finally, $\triangle ABD$ is right, so

$\begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}$

Thus $m+n=4+190=194.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 17