Question

Sea $f$ una función definida en el conjunto de los números racionales positivos con la propiedad de que $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ para todos los números racionales positivos $a$ y $b.$ Supongamos que $f$ también cumple la propiedad de que $f(p)=p$ para todo número primo $p.$ ¿Para cuál de los siguientes números $x$ se cumple $f(x) < 0$ ?

Let $f$ be a function defined on the set of positive rational numbers with the property that $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ for all positive rational numbers $a$ and $b.$ Suppose that $f$ also has the property that $f(p)=p$ for every prime number $p.$ For which of the following numbers $x$ is $f(x) < 0?$

$\dfrac{17}{32}$

$\dfrac{11}{16}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{25}{11}$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación funcional factorización en primos

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Primero determina $f(p^e)$ y $f(\frac{a}{b})$ .

First determine $f(p^e)$ and $f(\frac{a}{b})$

Pista grande:

Evalúa las opciones mediante la factorización en primos.

Evaluate the choices by prime factorization

Solución en video:

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Solución escrita:

El uso repetido de la ecuación funcional da $f(p^e)=ef(p)=ep$ para todo primo $p$ y todo entero positivo $e.$ Además, $f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b),$ de modo que $f(\frac{a}{b})=f(a)-f(b).$

Al evaluar las opciones mediante la factorización en primos, $\begin{aligned} f(\frac{17}{32})&=17-5\cdot2=7,\\ f(\frac{11}{16})&=11-4\cdot2=3,\\ f(\frac{7}{9})&=7-2\cdot3=1,\\ f(\frac{7}{6})&=7-2-3=2,\\ f(\frac{25}{11})&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned}$ Solo el último valor es negativo.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Repeated use of the functional equation gives $f(p^e)=ef(p)=ep$ for every prime $p$ and positive integer $e.$ Also, $f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b),$ so $f(\frac{a}{b})=f(a)-f(b).$

Evaluating the choices by prime factorization, $\begin{aligned} f(\frac{17}{32})&=17-5\cdot2=7,\\ f(\frac{11}{16})&=11-4\cdot2=3,\\ f(\frac{7}{9})&=7-2\cdot3=1,\\ f(\frac{7}{6})&=7-2-3=2,\\ f(\frac{25}{11})&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned}$ Only the final value is negative.

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 18