Question

Suzanne fue al banco y retiró $\$800.$ El cajero le dio esta cantidad usando billetes de $\$20,$ billetes de $\$50$ y billetes de $\$100,$ con al menos uno de cada denominación. ¿Cuántas colecciones diferentes de billetes pudo haber recibido Suzanne?

Suzanne went to the bank and withdrew $\$800.$ The teller gave her this amount using $\$20$ bills, $\$50$ bills, and $\$100$ bills, with at least one of each denomination. How many different collections of bills could Suzanne have received?

$45$

$21$

$36$

$28$

$32$

Respuesta: B

Conceptos:Ecuación diofántica paridad conteo básico

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Divide $20a + 50b + 100c = 800$ entre $10;$ la paridad entonces obliga a que el número de billetes de $\$50$ sea par.

Divide $20a + 50b + 100c = 800$ by $10;$ parity then forces the number of $\$50$ bills to be even

Pista grande:

Escribiendo $b = 2t,$ cuenta los pares de enteros positivos $(t, c)$ con $t + c \le 7$ .

Writing $b = 2t,$ count positive integer pairs $(t, c)$ with $t + c \le 7$

Solución:

Sean $a, b, c \ge 1$ el número de billetes de $\$20, \$50, \$100$ . Entonces $20a + 50b + 100c = 800,$ que se reduce a $2a + 5b + 10c = 80.$ Tanto $2a$ como $10c$ son pares, así que $5b$ también lo es, forzando $b = 2t.$ Ahora $a = 40 - 5t - 5c \ge 1$ significa $t + c \le 7.$ Con $t, c \ge 1,$ el número de pares es $1 + 2 + \cdots + 6 = 21.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $a, b, c \ge 1$ count the $\$20, \$50, \$100$ bills. Then $20a + 50b + 100c = 800,$ which divides down to $2a + 5b + 10c = 80.$ Both $2a$ and $10c$ are even, so $5b$ is too, forcing $b = 2t.$ Now $a = 40 - 5t - 5c \ge 1$ means $t + c \le 7.$ With $t, c \ge 1,$ the pairs number $1 + 2 + \cdots + 6 = 21.$ Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años