Question

Una lista de $9$ números reales consiste en $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ $7,$ así como $x,$ $y,$ $z$ con $x \le y \le z.$ El rango de la lista es $7,$ y la media y la mediana son ambas enteros positivos. ¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ son posibles?

A list of $9$ real numbers consists of $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ $7,$ as well as $x,$ $y,$ $z$ with $x \le y \le z.$ The range of the list is $7,$ and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples $(x, y, z)$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

infinitas

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:media mediana (datos)rango análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Los seis números dados suman $24.8,$ así que $x + y + z$ debe hacer que el total sea un múltiplo de $9$ .

The six given numbers sum to $24.8,$ so $x + y + z$ must make the total a multiple of $9$

Pista grande:

El rango $7$ fija los valores mínimo y máximo; luego exige que el $5$ º número más pequeño sea un entero positivo.

Range $7$ fixes the smallest and largest values; then require the $5$ th smallest number to be a positive integer

Solución:

Los seis números fijos suman $24.8.$ Si la media es el entero $k,$ entonces $x+y+z=9k-24.8.$ Como las entradas fijas ya abarcan de $1$ a $7,$ la condición sobre el rango produce tres casos.

Si $z\le7,$ entonces $x=0.$ Las cotas de $y+z$ obligan a que $k=3$ o $4.$ Para $k=3,$ la mediana es $2.2;$ para $k=4,$ tenemos $y+z=11.2,$ así que $y\ge4.2$ , y la mediana es entera solo cuando $y=5,$ lo que da $(x,y,z)=(0,5,6.2).$

Si $x\ge1,$ entonces $z=8.$ En este caso, $k=4$ da mediana $3.2.$ Para $k=5,$ tenemos $x+y=12.2;$ la mediana es entera solo cuando $x=6,$ lo que da $(6,6.2,8).$

En el caso restante, $0<x<1$ y $z=x+7.$ El total está entre $31.8$ y $41.8,$ así que $k=4$ y $y=4.2-2x.$ La mediana solo puede ser entera cuando $y=4,$ lo que da $(0.1,4,7.1).$ Por tanto, funcionan exactamente $3$ ternas ordenadas. Así, C es la respuesta correcta.

The six fixed numbers total $24.8.$ If the mean is the integer $k,$ then $x+y+z=9k-24.8.$ Because the fixed entries already run from $1$ to $7,$ the range condition gives three cases.

If $z\le7,$ then $x=0.$ The bounds on $y+z$ force $k=3$ or $4.$ For $k=3,$ the median is $2.2;$ for $k=4,$ we have $y+z=11.2,$ so $y\ge4.2$ and the median is integral only when $y=5,$ giving $(x,y,z)=(0,5,6.2).$

If $x\ge1,$ then $z=8.$ Here $k=4$ gives median $3.2.$ For $k=5,$ we have $x+y=12.2;$ the median is integral only when $x=6,$ giving $(6,6.2,8).$

The remaining case has $0<x<1$ and $z=x+7.$ The total lies between $31.8$ and $41.8,$ so $k=4$ and $y=4.2-2x.$ The median can be an integer only when $y=4,$ giving $(0.1,4,7.1).$ Hence exactly $3$ ordered triples work. Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 15

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años