Question

¿Cuántos residuos diferentes pueden resultar cuando la $100$ ª potencia de un entero se divide entre $125$ ?

How many different remainders can result when the $100$ th power of an integer is divided by $125?$

$1$

$2$

$5$

$25$

$125$

Respuesta: B

Conceptos:Función φ de Euler exponenciación modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

$125 = 5^3$ y $\varphi(125) = 100;$ divide en $n$ coprimo con $5$ y $n$ divisible entre $5$ .

$125 = 5^3$ and $\varphi(125) = 100;$ split into $n$ coprime to $5$ and $n$ divisible by $5$

Pista grande:

Si $\gcd(n, 5) = 1,$ entonces $n^{100} \equiv 1;$ si $n$ es divisible por $5,$ entonces $n^{100}$ es divisible por $5^3$ .

If $\gcd(n, 5) = 1,$ then $n^{100} \equiv 1;$ if $n$ is divisible by $5,$ then $n^{100}$ is divisible by $5^3$

Solución:

Aquí $125 = 5^3$ y $\varphi(125) = 100.$ Si $\gcd(n, 5) = 1,$ el teorema de Euler da $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ Y si $n$ es divisible por $5,$ entonces $n^{100}$ lleva un factor de $5^{100},$ por tanto de $125,$ así que $n^{100} \equiv 0 \pmod{125}.$ Eso deja solo dos residuos posibles, $0$ y $1.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Here $125 = 5^3$ and $\varphi(125) = 100.$ If $\gcd(n, 5) = 1,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ And if $n$ is divisible by $5,$ then $n^{100}$ carries a factor of $5^{100},$ hence of $125,$ so $n^{100} \equiv 0 \pmod{125}.$ That leaves only two possible remainders, $0$ and $1.$ Therefore, the answer is B.

2024 AMC 10B Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años