Question

Agnes escribe las siguientes cuatro afirmaciones en una hoja de papel en blanco.

• Al menos una de estas afirmaciones es verdadera.

• Al menos dos de estas afirmaciones son verdaderas.

• Al menos dos de estas afirmaciones son falsas.

• Al menos una de estas afirmaciones es falsa.

Cada afirmación es verdadera o falsa. ¿Cuántas afirmaciones falsas escribió Agnes en el papel?

Agnes writes the following four statements on a blank piece of paper.

• At least one of these statements is true.

• At least two of these statements are true.

• At least two of these statements are false.

• At least one of these statements is false.

Each statement is either true or false. How many false statements did Agnes write on the paper?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: B

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Prueba la suposición de que la tercera afirmación (“al menos dos son falsas”) es verdadera y busca una contradicción.

Test the assumption that the third statement (“at least two are false”) is true and look for a contradiction

Pista grande:

Luego comprueba si tener exactamente una afirmación falsa es totalmente consistente.

Then check whether exactly one false statement is fully consistent

Solución:

Numerémoslas: $(1)$ al menos una verdadera, $(2)$ al menos dos verdaderas, $(3)$ al menos dos falsas, $(4)$ al menos una falsa. Supón que $(3)$ es verdadera. Entonces al menos dos afirmaciones son falsas. Pero entonces $(1),$ $(2)$ y $(4)$ resultan todas verdaderas, lo que deja como máximo una afirmación falsa. Eso es una contradicción, así que $(3)$ debe ser falsa. Ahora $(1),$ $(2)$ y $(4)$ son todas verdaderas, y cada una coincide con la realidad al haber solo una afirmación falsa. Así que exactamente $1$ afirmación es falsa. Por lo tanto, la respuesta es B.

Number them: $(1)$ at least one true, $(2)$ at least two true, $(3)$ at least two false, $(4)$ at least one false. Suppose $(3)$ is true. Then at least two statements are false. But then $(1),$ $(2),$ and $(4)$ all read as true, which leaves at most one false statement. That’s a contradiction, so $(3)$ must be false. Now $(1),$ $(2),$ and $(4)$ are all true, and each matches reality with just one false statement. So exactly $1$ statement is false. Therefore, the answer is B.

2025 AMC 10A Problema 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años