1958 AMC 12 Problema 46

Question

Para valores de

x

menores que

1

pero mayores que

-4,

la expresión

\frac{x^2-2x+2}{2x-2}

tiene:

For values of

x

less than

1

but greater than

-4,

the expression

\frac{x^2-2x+2}{2x-2}

has:

ningún máximo ni mínimo

no maximum or minimum value

mínimo

1

a minimum value of

1

máximo

1

a maximum value of

1

mínimo

-1

a minimum value of

-1

máximo

-1

a maximum value of

-1

Respuesta: E

Conceptos:Desigualdad MA-MG desigualdad optimización

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Toma

t=x-1,

que es negativo en el intervalo dado

Set

t=x-1,

which is negative on the given interval

Pista grande:

Reescribe como

\tfrac12(t+\frac{1}{t})

y usa la desigualdad para

t

negativo

Rewrite the expression as

\tfrac12(t+\frac{1}{t})

and use the negative-

t

form of AM-GM

Solución:

Sea

t=x-1.

Entonces

-5\lt t\lt0,

y la expresión se vuelve

\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right).

Para

t\lt0,

t+\frac{1}{t}\le-2,

con igualdad en

t=-1.

Este valor corresponde a

x=0.

Así, la expresión es como máximo

-1,

y su máximo es

-1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set

t=x-1.

Then

-5\lt t\lt0,

and the expression becomes

\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right).

For

t\lt0,

t+\frac{1}{t}\le-2,

with equality when

t=-1.

That value is allowed and corresponds to

x=0.

Hence the expression is at most

-1,

and its maximum is

-1.

Thus, the correct answer is E.