1959 AMC 12 Problema 42
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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
42.
Dados tres enteros positivos y Su máximo común divisor es su mínimo común múltiplo es Entonces, ¿cuáles dos de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
El producto no puede ser menor que
El producto no puede ser mayor que
es igual a si y solo si son primos.
es igual a si y solo si son primos relativos por pares. (Esto significa que ningún par tiene un factor común mayor que )
Given three positive integers and Their greatest common divisor is their least common multiple is Then, which two of the following statements are true?
The product cannot be less than
The product cannot be greater than
equals if and only if are each prime.
equals if and only if are relatively prime in pairs. (This means: no two have a common factor greater than )
Respuesta: E
Pista pequeña:
Para un primo, ordena sus exponentes en como
For one prime, order its exponents in as
Pista grande:
Compara el exponente en con el exponente en
Compare the exponent in with the exponent in
Solución:
Para cualquier primo, sean sus exponentes en iguales a Su exponente en es mientras que en es Por lo tanto, lo que demuestra la afirmación La igualdad se cumple exactamente cuando para todo primo, lo cual significa que ningún primo divide a dos de Esto es precisamente ser primos relativos por pares, lo que demuestra la afirmación
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
For any prime, let its exponents in be Its exponent in is while its exponent in is Thus proving statement Equality holds exactly when for every prime, meaning no prime divides two of That is precisely pairwise relative primality, proving statement
Therefore, the correct answer is E.