Soluciones del 1988 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

\sqrt8+\sqrt{18}=

\sqrt{20}

2(\sqrt2+\sqrt3)

7

5\sqrt2

2\sqrt{13}

Conceptos:simplifying radicals like terms

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Extrae el mayor factor cuadrado de cada radicando

Extract the largest square factor from each radicand

Pista grande:

Después de simplificar, los dos radicales son términos semejantes

After simplifying, the two radicals are like terms

Solución:

Tenemos

\sqrt8=2\sqrt2

y

\sqrt{18}=3\sqrt2.

Su suma es

5\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have

\sqrt8=2\sqrt2

and

\sqrt{18}=3\sqrt2.

Their sum is

5\sqrt2.

Thus the correct answer is D.

2.

Los triángulos

ABC

y

XYZ

son semejantes;

A

corresponde a

X

y

B

a

Y.

Si

AB=3,

BC=4

y

XY=5,

entonces

YZ

es

Triangles

ABC

and

XYZ

are similar, with

A

corresponding to

X

and

B

to

Y.

If

AB=3,

BC=4,

and

XY=5,

then

YZ

is

3\frac34

6

6\frac14

6\frac23

8

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Empareja

AB

con

XY

y

BC

con

YZ

Match

AB

with

XY

and

BC

with

YZ

Pista grande:

Usa el factor de escala del primer triángulo al segundo

Use the scale factor from the first triangle to the second

Solución:

El factor de escala es

\frac{XY}{AB}=\frac{5}{3}.

Por tanto,

YZ=(\frac{5}{3})BC=(\frac{5}{3})(4)

y

YZ=\frac{20}{3}=6\frac23.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The scale factor is

\frac{XY}{AB}=\frac{5}{3}.

Therefore

YZ=(\frac{5}{3})BC=(\frac{5}{3})(4)

and

YZ=\frac{20}{3}=6\frac23.

Thus the correct answer is D.

3.

Cuatro tiras rectangulares de papel de longitud

10

y ancho

1

se colocan planas sobre una mesa y se superponen perpendicularmente como se muestra. ¿Qué área de la mesa queda cubierta?

Four rectangular paper strips of length

10

and width

1

are put flat on a table and overlap perpendicularly as shown. How much area of the table is covered?

36

40

44

98

100

Conceptos:área inclusión-exclusión rectangles

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Suma primero las áreas de las cuatro tiras

First add the areas of the four strips

Pista grande:

Cada cruce perpendicular es un cuadrado unitario contado dos veces

Each perpendicular crossing is a unit square counted twice

Solución:

Las tiras tienen un área total de

4(10)=40.

Hay cuatro superposiciones de

1

por

1,

cada una contada dos veces, por lo que el área cubierta es

40-4=36.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The strips have total area

4(10)=40.

There are four

1

-by-

1

overlaps, each counted twice, so the covered area is

40-4=36.

Thus the correct answer is A.

4.

La pendiente de la recta

\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1

es

The slope of the line

\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1

is

-\frac32

-\frac23

\frac13

\frac23

\frac32

Conceptos:slope-intercept form linear equations

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Despeja

y

en la ecuación

Solve the equation for

y

Pista grande:

En

y=mx+b,

el coeficiente

m

es la pendiente

In

y=mx+b,

the coefficient

m

is the slope

Solución:

Al multiplicar por

2

y luego aislar

\frac{y}{2},

se obtiene

y=2-\frac23x.

La pendiente es

-\frac{2}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying by

2

after isolating

\frac{y}{2}

gives

y=2-\frac23x.

The slope is

-\frac{2}{3}.

Thus the correct answer is B.

5.

Si

b

y

c

son constantes y

(x+2)(x+b)=x^2+cx+6,

entonces

c

es

If

b

and

c

are constants and

(x+2)(x+b)=x^2+cx+6,

then

c

is

-5

-3

-1

3

5

Conceptos:polynomial identities coefficient comparison

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Desarrolla el producto de la izquierda

Expand the product on the left

Pista grande:

Compara el término constante antes de comparar el coeficiente de

x

Compare the constant term before comparing the coefficient of

x

Solución:

Al desarrollar se obtiene

x^2+(b+2)x+2b.

Por tanto,

2b=6,

así que

b=3

y

c=b+2=5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Expansion gives

x^2+(b+2)x+2b.

Thus

2b=6,

so

b=3,

and

c=b+2=5.

Thus the correct answer is E.

6.

Una figura es un paralelogramo equiángulo si y solo si es un

A figure is an equiangular parallelogram if and only if it is a

rectángulo

rectangle

polígono regular

regular polygon

rombo

rhombus

cuadrado

square

trapecio

trapezoid

Conceptos:quadrilaterals parallelograms suma de ángulos

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Los cuatro ángulos interiores iguales deben sumar

360^\circ

The four equal interior angles must add to

360^\circ

Pista grande:

Ninguna condición obliga a que los lados adyacentes tengan la misma longitud

No condition here forces adjacent sides to have equal lengths

Solución:

Cuatro ángulos iguales que suman

360^\circ

son todos rectos. Un paralelogramo con cuatro ángulos rectos es exactamente un rectángulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Four equal angles summing to

360^\circ

are all right angles. A parallelogram with four right angles is exactly a rectangle.

Thus the correct answer is A.

7.

Estima el tiempo necesario para enviar

60

bloques de datos por un canal de comunicaciones si cada bloque consta de

512

“fragmentos” y el canal puede transmitir

120

fragmentos por segundo.

Estimate the time it takes to send

60

blocks of data over a communications channel if each block consists of

512

“chunks” and the channel can transmit

120

chunks per second.

0.04

segundos

0.04

seconds

0.4

segundos

0.4

seconds

4

segundos

4

seconds

4

minutos

4

minutes

4

horas

4

hours

Conceptos:unit rates estimación conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Calcula primero el número total de fragmentos

Compute the total number of chunks first

Pista grande:

Convierte a minutos el número de segundos obtenido

Convert the resulting number of seconds to minutes

Solución:

La transmisión tarda

\frac{60\cdot512}{120}=256

segundos, un poco más de

4

minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The transmission takes

\frac{60\cdot512}{120}=256

seconds, which is a little over

4

minutes.

Thus the correct answer is D.

8.

Si

\frac ba=2

y

\frac cb=3,

¿cuál es la razón de

a+b

a

b+c

?

If

\frac ba=2

and

\frac cb=3,

what is the ratio of

a+b

to

b+c?

\frac13

\frac38

\frac35

\frac23

\frac34

Conceptos:ratios sustitución proportions

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Escribe

b

y

c

como múltiplos de

a

Write both

b

and

c

as multiples of

a

Pista grande:

Sustituye esas expresiones en

\frac{a+b}{b+c}

Substitute those expressions into

\frac{a+b}{b+c}

Solución:

Tenemos

b=2a

y

c=3b=6a.

Por tanto,

\frac{a+b}{b+c}=\frac{3a}{8a}=\frac38.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We have

b=2a

and

c=3b=6a.

Therefore

\frac{a+b}{b+c}=\frac{3a}{8a}=\frac38.

Thus the correct answer is B.

9.

Una mesa de

8'\times10'

está en la esquina de una habitación cuadrada, como en la Figura

1

de abajo. Los dueños desean moverla a la posición de la Figura

2.

El lado de la habitación mide

S

pies. ¿Cuál es el menor valor entero de

S

para el que la mesa puede moverse como se desea sin inclinarla ni desmontarla?

An

8'\times10'

table sits in the corner of a square room, as in Figure

1

below. The owners desire to move the table to the position shown in Figure

2.

The side of the room is

S

feet. What is the smallest integer value of

S

for which the table can be moved as desired without tilting it or taking it apart?

11

12

13

14

15

Conceptos:rectangle diagonal rotation geometric bounds

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Durante un cuarto de vuelta, una diagonal queda perpendicular a dos paredes opuestas

During a quarter-turn, a diagonal becomes perpendicular to a pair of opposite walls

Pista grande:

Compara el lado de la habitación con la diagonal de la mesa

Compare the room side with the table’s diagonal

Solución:

La diagonal de la mesa es

\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164},

que está entre

12

y

13.

Durante el giro, esta diagonal debe caber en la habitación, así que

S\ge\sqrt{164}.

Recíprocamente, un rectángulo puede girar dentro de un círculo cuyo diámetro es su diagonal, por lo que esa cota es suficiente. El menor entero

S

es

13.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The table diagonal is

\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164},

which is between

12

and

13.

During the turn this diagonal must fit across the room, so

S\ge\sqrt{164}.

Conversely, a rectangle can rotate inside a circle whose diameter is its diagonal, so that bound is sufficient. The least integer

S

is

13.

Thus the correct answer is C.

10.

En un experimento, se determina que una constante científica

C

vale

2.43865

con un error máximo de

\pm0.00312.

El experimentador desea anunciar un valor de

C

en el que cada cifra sea significativa. Es decir, sea cual sea

C,

el valor anunciado debe ser el resultado correcto al redondear

C

a ese número de cifras. El valor más preciso que puede anunciar para

C

es

In an experiment, a scientific constant

C

is determined to be

2.43865

with an error of at most

\pm0.00312.

The experimenter wishes to announce a value for

C

in which every digit is significant. That is, whatever

C

is, the announced value must be the correct result when

C

is rounded to that number of digits. The most accurate value the experimenter can announce for

C

is

2

2.4

2.43

2.44

2.439

Conceptos:error bounds rounding significant digits

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Halla los valores mínimo y máximo posibles de

C

Find the smallest and largest possible values of

C

Pista grande:

Redondea ambos extremos a cantidades crecientes de cifras significativas

Round both endpoints to increasing numbers of significant digits

Solución:

El intervalo posible es

[2.43553,2.44177].

Todos sus números se redondean a

2.44

con tres cifras significativas, pero los extremos se redondean de manera diferente con cuatro. Por tanto,

2.44

es el anuncio más preciso garantizado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The possible interval is

[2.43553,2.44177].

Every number in it rounds to

2.44

at three significant digits, but the endpoints round differently at four significant digits. Hence

2.44

is the most accurate guaranteed announcement.

Thus the correct answer is D.

11.

En cada línea horizontal de la figura, los cinco puntos grandes indican las poblaciones de las ciudades

A,

B,

C,

D

y

E

en el año señalado. ¿Qué ciudad tuvo el mayor aumento porcentual de población entre

1970

y

1980

?

On each horizontal line in the figure below, the five large dots indicate the populations of cities

A,

B,

C,

D,

and

E

in the year indicated. Which city had the greatest percentage increase in population from

1970

to

1980?

A

B

C

D

E

Conceptos:percent change graph interpretation data comparison

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Lee en la escala los dos valores de población de cada ciudad

Read each city’s two population values from the scale

Pista grande:

Compara el aumento dividido entre la población de

1970,

no solo el aumento absoluto

Compare increase divided by the

1970

population, not just absolute increase

Solución:

Los aumentos porcentuales de

A,B,C,D,E

son, respectivamente,

\frac{10}{40},\frac{20}{50},\frac{30}{70},\frac{30}{100}

y

\frac{40}{120}.

Estos son

25\%,40\%,42\frac67\%,30\%

y

33\frac13\%,

por lo que la ciudad

C

tuvo el mayor aumento porcentual.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The percentage increases for

A,B,C,D,E

are respectively

\frac{10}{40},\frac{20}{50},\frac{30}{70},\frac{30}{100},

and

\frac{40}{120}.

These are

25\%,40\%,42\frac67\%,30\%,

and

33\frac13\%,

so city

C

has the greatest percentage increase.

Thus the correct answer is C.

12.

Cada entero del

1

al

9

se escribe en una hoja distinta y las nueve hojas se colocan en un sombrero. Jack extrae una al azar y la devuelve. Luego Jill extrae una hoja al azar. ¿Qué dígito tiene mayor probabilidad de ser la cifra de las unidades de la suma de los enteros de Jack y Jill?

Each integer

1

through

9

is written on a separate slip of paper and all nine slips are put into a hat. Jack picks one of these slips at random and puts it back. Then Jill picks a slip at random. Which digit is most likely to be the units digit of the sum of Jack’s integer and Jill’s integer?

0

1

8

9

cada dígito es igualmente probable

each digit is equally likely

Conceptos:probability aritmética modular counting ordered pairs

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Hay

81

pares ordenados equiprobables

There are

81

equally likely ordered pairs

Pista grande:

Cuenta los pares cuya suma tiene cada residuo módulo

10

Count pairs whose sum has each residue modulo

10

Solución:

Para obtener una cifra de unidades

0,

los pares ordenados son

(1,9),(2,8),\ldots,(9,1),

lo que da

9

pares. Cada otra cifra aparece

8

veces entre los

81

pares ordenados. Por tanto,

0

es la más probable.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For a units digit of

0,

the ordered pairs are

(1,9),(2,8),\ldots,(9,1),

giving

9

pairs. Each other units digit occurs

8

times among the

81

ordered pairs. Therefore

0

is most likely.

Thus the correct answer is A.

13.

Si

\sin x=3\cos x,

¿cuánto vale

\sin x\cos x

?

If

\sin x=3\cos x,

then what is

\sin x\cos x?

\frac16

\frac15

\frac29

\frac14

\frac3{10}

Conceptos:trigonometric identities algebraic substitution

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado la relación dada y usa

\sin^2x+\cos^2x=1

Square the given relation and use

\sin^2x+\cos^2x=1

Pista grande:

La relación dada también determina el signo del producto

The given relation also determines the sign of the product

Solución:

Al elevar al cuadrado obtenemos

\sin^2x=9\cos^2x.

Por tanto,

10\cos^2x=1.

Al multiplicar

\sin x=3\cos x

por

\cos x,

obtenemos

\sin x\cos x=3\cos^2x=\frac{3}{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Squaring gives

\sin^2x=9\cos^2x.

Hence

10\cos^2x=1.

Multiplying

\sin x=3\cos x

by

\cos x

gives

\sin x\cos x=3\cos^2x=\frac{3}{10}.

Thus the correct answer is E.

14.

Para cualquier número real

a

y entero positivo

k,

define

\binom ak= \frac{\begin{gathered} a(a-1)(a-2)\cdots\\ {}\cdot(a-(k-1)) \end{gathered}} {\begin{gathered} k(k-1)(k-2)\cdots\\ {}\cdot(2)(1) \end{gathered}}.

¿Cuánto vale

\binom{-\frac12}{100}\div\binom{\frac12}{100}\ ?

For any real number

a

and positive integer

k,

define

\binom ak= \frac{\begin{gathered} a(a-1)(a-2)\cdots\\ {}\cdot(a-(k-1)) \end{gathered}} {\begin{gathered} k(k-1)(k-2)\cdots\\ {}\cdot(2)(1) \end{gathered}}.

What is

\binom{-\frac12}{100}\div\binom{\frac12}{100}\ ?

-199

-197

-1

197

199

Conceptos:generalized binomial coefficients products cancellation

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Cancela el denominador común

100!

Cancel the identical denominator

100!

Pista grande:

Escribe los factores restantes como enteros impares consecutivos y busca una cancelación telescópica

Write the remaining factors as consecutive odd integers and look for telescoping cancellation

Solución:

Después de cancelar

100!,

las magnitudes de los factores del numerador son

1,3,\ldots,199,

mientras que las del denominador son

1,1,3,\ldots,197.

Todos los factores impares comunes se cancelan y queda magnitud

199.

El numerador tiene

100

factores negativos y el denominador

99,

así que el cociente es

-199.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

After canceling

100!,

the numerator factors have magnitudes

1,3,\ldots,199,

while the denominator factors have magnitudes

1,1,3,\ldots,197.

All common odd factors cancel, leaving magnitude

199.

The numerator has

100

negative factors and the denominator has

99,

so the quotient is

-199.

Thus the correct answer is A.

15.

Si

a

y

b

son enteros tales que

x^2-x-1

es un factor de

ax^3+bx^2+1,

entonces

b

es

If

a

and

b

are integers such that

x^2-x-1

is a factor of

ax^3+bx^2+1,

then

b

is

-2

-1

0

1

2

Conceptos:polynomial divisibility modular reduction coefficient comparison

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Reduce las potencias usando

x^2\equiv x+1

Reduce powers using

x^2\equiv x+1

Pista grande:

Un polinomio de grado menor que

2

divisible por el cuadrático debe ser cero

A polynomial of degree below

2

divisible by the quadratic must be zero

Solución:

Módulo

x^2-x-1,

tenemos

x^2\equiv x+1

y

x^3\equiv2x+1.

Así, el polinomio es congruente con

(2a+b)x+(a+b+1).

Ambos coeficientes deben anularse, de modo que

2a+b=0

y

a+b=-1.

Por tanto,

a=1

y

b=-2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Modulo

x^2-x-1,

we have

x^2\equiv x+1

and

x^3\equiv2x+1.

Thus the polynomial is congruent to

(2a+b)x+(a+b+1).

Both coefficients must vanish, so

2a+b=0

and

a+b=-1.

Hence

a=1

and

b=-2.

Thus the correct answer is A.

16.

ABC

y

A'B'C'

son triángulos equiláteros con lados paralelos y el mismo centro, como en la figura. La distancia entre el lado

BC

y el lado

B'C'

es

\frac16

de la altura de

\triangle ABC.

La razón entre el área de

\triangle A'B'C'

y la de

\triangle ABC

es

ABC

and

A'B'C'

are equilateral triangles with parallel sides and the same center, as in the figure. The distance between side

BC

and side

B'C'

is

\frac16

the altitude of

\triangle ABC.

The ratio of the area of

\triangle A'B'C'

to the area of

\triangle ABC

is

\frac1{36}

\frac16

\frac14

\frac{\sqrt3}{4}

\frac{9+8\sqrt3}{36}

Conceptos:equilateral triangles baricentro area scale factor

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Un centroide se encuentra a un tercio de la altura sobre la base

A centroid lies one-third of the altitude above the base

Pista grande:

Relaciona las dos alturas usando la distancia entre sus bases paralelas

Relate the two altitudes using the distance between their parallel bases

Solución:

Sean

h

y

h'

las alturas exterior e interior. Su centro común está a

\frac{h}{3}

sobre

BC

y a

\frac{h'}{3}

sobre

B'C'.

Por tanto,

\frac{h-h'}{3}=\frac{h}{6},

así que

h'=\frac{h}{2}.

Las áreas varían como el cuadrado de las longitudes correspondientes, lo que da

(\frac{h'}{h})^2=\frac{1}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the outer and inner altitudes be

h

and

h'.

Their common center is

\frac{h}{3}

above

BC

and

\frac{h'}{3}

above

B'C'.

Hence

\frac{h-h'}{3}=\frac{h}{6},

so

h'=\frac{h}{2}.

Areas scale as the square of corresponding lengths, giving

(\frac{h'}{h})^2=\frac{1}{4}.

Thus the correct answer is C.

17.

Si

\lvert x\rvert+x+y=10

y

x+\lvert y\rvert-y=12,

halla

x+y.

If

\lvert x\rvert+x+y=10

and

x+\lvert y\rvert-y=12,

find

x+y.

-2

2

\frac{18}{5}

\frac{22}{3}

22

Conceptos:valor absoluto systems of equations case analysis

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Usa cada ecuación para descartar una posibilidad de signo

Use each equation to rule out one sign possibility

Pista grande:

Después de determinar los signos de

x

y

y,

resuelve un sistema lineal

After determining the signs of

x

and

y,

solve a linear system

Solución:

Si

x\le0,

la primera ecuación da

y=10,

lo que contradice la segunda; por tanto,

x>0.

Si

y\ge0,

la segunda da

x=12,

lo que contradice la primera; por tanto,

y<0.

Las ecuaciones se convierten en

2x+y=10

y

x-2y=12.

Así,

x=\frac{32}{5},\ y=-\frac{14}{5},

y

x+y=\frac{18}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If

x\le0,

the first equation gives

y=10,

contradicting the second; hence

x>0.

If

y\ge0,

the second gives

x=12,

contradicting the first; hence

y<0.

The equations become

2x+y=10

and

x-2y=12.

Thus

x=\frac{32}{5},\ y=-\frac{14}{5},

and

x+y=\frac{18}{5}.

Thus the correct answer is C.

18.

Al final de un torneo profesional de bolos, los

5

mejores jugadores disputan una eliminatoria. Primero, el número

5

juega contra el número

4.

El perdedor recibe el premio número

5

y el ganador juega contra el número

3

. El perdedor de este juego recibe el premio número

4

y el ganador juega contra el número

2

. El perdedor recibe el premio número

3

y el ganador juega contra el número

1

. El ganador de este último juego recibe el premio número

1

y el perdedor el número

2

. ¿En cuántos órdenes pueden recibir los premios los jugadores del número

1

al número

5

?

At the end of a professional bowling tournament, the top

5

bowlers have a play-off. First #

5

bowls #

4.

The loser receives

5

th prize and the winner bowls #

3

in another game. The loser of this game receives

4

th prize and the winner bowls #

2.

The loser of this game receives

3

rd prize and the winner bowls #

1.

The winner of this game gets

1

st prize and the loser gets

2

nd prize. In how many orders can bowlers #

1

through #

5

receive the prizes?

10

16

24

120

ninguna de estas

none of these

Conceptos:counting binary choices tournament outcomes

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Se juegan exactamente cuatro partidas

Exactly four games are played

Pista grande:

Cada secuencia de ganadores determina un orden de premios diferente

Each sequence of winners determines a different prize order

Solución:

Cada una de las cuatro partidas tiene dos posibles ganadores. Una secuencia de cuatro resultados determina de manera única los cinco puestos, así que hay

2^4=16

órdenes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of the four games has two possible winners. A sequence of four outcomes uniquely determines the five prize positions, so there are

2^4=16

orders.

Thus the correct answer is B.

19.

Simplifica

\frac{\begin{gathered} bx(a^2x^2+2a^2y^2+b^2y^2)\\ {}+ay(a^2x^2+2b^2x^2+b^2y^2) \end{gathered}}{bx+ay}.

Simplify

\frac{\begin{gathered} bx(a^2x^2+2a^2y^2+b^2y^2)\\ {}+ay(a^2x^2+2b^2x^2+b^2y^2) \end{gathered}}{bx+ay}.

a^2x^2+b^2y^2

(ax+by)^2

(ax+by)(bx+ay)

2(a^2x^2+b^2y^2)

(bx+ay)^2

Conceptos:factorización polynomial identities algebraic simplification

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Separa los términos

2a^2y^2

y

2b^2x^2

Separate the

2a^2y^2

and

2b^2x^2

terms

Pista grande:

Intenta factorizar primero el numerador por

bx+ay

Try to factor the numerator first by

bx+ay

Solución:

Al reagrupar el numerador obtenemos

\begin{aligned} &(bx+ay)(a^2x^2+b^2y^2)\\ &\quad+2abxy(ay+bx)\\ &=(bx+ay)(ax+by)^2. \end{aligned}

Al dividir entre

bx+ay

se obtiene

(ax+by)^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Regrouping the numerator gives

\begin{aligned} &(bx+ay)(a^2x^2+b^2y^2)\\ &\quad+2abxy(ay+bx)\\ &=(bx+ay)(ax+by)^2. \end{aligned}

Dividing by

bx+ay

yields

(ax+by)^2.

Thus the correct answer is B.

20.

En una de las figuras adjuntas, un cuadrado de lado

2

se divide en cuatro piezas de modo que

E

y

F

sean los puntos medios de lados opuestos y

AG

sea perpendicular a

BF.

Las cuatro piezas pueden rearmarse en un rectángulo como muestra la segunda figura. La razón de la altura a la base,

\frac{XY}{YZ},

en este rectángulo es

In one of the adjoining figures a square of side

2

is dissected into four pieces so that

E

and

F

are the midpoints of opposite sides and

AG

is perpendicular to

BF.

These four pieces can then be reassembled into a rectangle as shown in the second figure. The ratio of height to base,

\frac{XY}{YZ},

in this rectangle is

4

1+2\sqrt3

2\sqrt5

\frac{8+4\sqrt3}{3}

5

Conceptos:dissection area preservation Pythagorean theorem

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Halla

BF

y

DE

a partir del lado y de las condiciones de punto medio

Find

BF

and

DE

from the side length and midpoint conditions

Pista grande:

Usa el área invariable para determinar la base del rectángulo

Use the unchanged area to determine the rectangle’s base

Solución:

Tanto

BF

como

DE

tienen cambios horizontal y vertical de

1

y

2,

así que cada uno mide

\sqrt5.

Por tanto,

XY=BF+DE=2\sqrt5.

El rectángulo tiene área

4,

así que

YZ=\frac{4}{2\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}.

Por tanto,

\frac{XY}{YZ}=5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Both

BF

and

DE

have horizontal and vertical changes

1

and

2,

so each has length

\sqrt5.

Thus

XY=BF+DE=2\sqrt5.

The rectangle has area

4,

so

YZ=\frac{4}{2\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}.

Therefore

\frac{XY}{YZ}=5.

Thus the correct answer is E.

21.

El número complejo

z

satisface

z+\lvert z\rvert=2+8i.

¿Cuál es

\lvert z\rvert^2

? Nota: si

z=a+bi,

entonces

\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.

The complex number

z

satisfies

z+\lvert z\rvert=2+8i.

What is

\lvert z\rvert^2?

Note: if

z=a+bi,

then

\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.

68

100

169

208

289

Conceptos:complex numbers modulus equations with radicals

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Escribe

z=a+bi

y compara las partes imaginarias

Write

z=a+bi

and compare imaginary parts

Pista grande:

Usa la parte real para relacionar

a

con

\sqrt{a^2+b^2}

Use the real part to relate

a

to

\sqrt{a^2+b^2}

Solución:

Al escribir

z=a+bi

, se obtiene

b=8

y

a+\sqrt{a^2+64}=2.

Por tanto,

\sqrt{a^2+64}=2-a.

Al elevar al cuadrado se obtiene

a=-15.

En consecuencia,

\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Writing

z=a+bi

gives

b=8

and

a+\sqrt{a^2+64}=2.

Thus

\sqrt{a^2+64}=2-a.

Squaring yields

a=-15.

Therefore

\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289.

Thus the correct answer is E.

22.

¿Para cuántos enteros

x

un triángulo con lados de longitudes

10,

24

y

x

tiene todos sus ángulos agudos?

For how many integers

x

does a triangle with side lengths

10,

24,

and

x

have all its angles acute?

4

5

6

7

más de

7

more than

7

Conceptos:acute triangles Pythagorean inequalities integer counting

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Aplica la desigualdad pitagórica estricta al lado mayor en cada orden posible

Apply the strict Pythagorean inequality to the largest side in each possible ordering

Pista grande:

El ángulo opuesto a

24

y el ángulo opuesto a

x

dan las cotas restrictivas

The angle opposite

24

and the angle opposite

x

give the restrictive bounds

Solución:

Para que el triángulo sea acutángulo, se requiere

x^2<10^2+24^2=676

y

24^2<10^2+x^2,

de modo que

x<26

y

x^2>476.

Para

x

entero, esto da

22\le x\le25.

Los cuatro valores también satisfacen la desigualdad triangular, por lo que hay

4

valores.

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Acuteness requires

x^2<10^2+24^2=676

and

24^2<10^2+x^2,

so

x<26

and

x^2>476.

For integer

x,

this gives

22\le x\le25.

All four values also satisfy the triangle inequality, so there are

4

values.

Thus the correct answer is A.

23.

Las seis aristas del tetraedro

ABCD

miden

7,

13,

18,

27,

36

y

41

unidades. Si la arista

AB

mide

41,

entonces la longitud de la arista

CD

es

The six edges of tetrahedron

ABCD

measure

7,

13,

18,

27,

36,

and

41

units. If the length of edge

AB

is

41,

then the length of edge

CD

is

7

13

18

27

36

Conceptos:tetrahedron edges desigualdad triangular case analysis

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

La arista de longitud

7

pertenece a dos caras triangulares

The edge of length

7

belongs to two triangular faces

Pista grande:

En cualquiera de las caras que contiene esa arista, las longitudes de las otras dos aristas deben diferir en menos de

7

In either face containing that edge, the other two edge lengths must differ by less than

7

Solución:

En una cara que contiene la arista de longitud

7,

sus otros dos lados deben diferir en menos de

7.

Entre las longitudes restantes, los únicos pares disjuntos con esta propiedad son

(13,18)

y

(36,41),

por lo que la arista de longitud

27

es opuesta a la de longitud

7.

Dado que

AB=41,

se pueden comprobar mediante las desigualdades triangulares las dos ubicaciones posibles de estos pares; la ubicación en la que la arista opuesta a

AB

mide

18

no es válida, mientras que en la ubicación válida se tiene

CD=13.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

For a face containing the edge

7,

its other two sides must differ by less than

7.

Among the remaining lengths, the only disjoint pairs with this property are

(13,18)

and

(36,41),

so edge

27

is opposite edge

7.

With

AB=41,

the two possible placements of these pairs can be checked by the triangle inequalities; the placement making the edge opposite

AB

equal to

18

fails, while the valid placement has

CD=13.

Thus the correct answer is B.

24.

Un trapecio isósceles está circunscrito a una circunferencia. La base mayor del trapecio mide

16,

y uno de los ángulos de la base es

\arcsin(0.8).

Halla el área del trapecio.

An isosceles trapezoid is circumscribed around a circle. The longer base of the trapezoid is

16,

and one of the base angles is

\arcsin(0.8).

Find the area of the trapezoid.

72

75

80

90

no se puede determinar de manera única

not uniquely determined

Conceptos:tangential quadrilateral isosceles trapezoid trigonometría área

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

En un cuadrilátero circunscrito, las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales

For a circumscribed quadrilateral, the sums of opposite side lengths are equal

Pista grande:

Usa

\sin\alpha=\frac{4}{5}

y

\cos\alpha=\frac{3}{5}

para relacionar el lado no paralelo, la altura y la diferencia de las bases

Use

\sin\alpha=\frac{4}{5}

and

\cos\alpha=\frac{3}{5}

to relate the leg, height, and difference of the bases

Solución:

Sea

b

la base menor y sea

\ell

la longitud de cada lado no paralelo. La tangencia da

16+b=2\ell.

Si el ángulo de la base es

\alpha,

entonces

\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5},

y

16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell.

Al resolver, se obtiene

b=4,\ \ell=10,

y la altura es

\ell\sin\alpha=8.

El área es

\frac12(16+4)(8)=80.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Let the shorter base be

b

and each leg be

\ell.

Tangency gives

16+b=2\ell.

If the base angle is

\alpha,

then

\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5},

and

16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell.

Solving gives

b=4,\ \ell=10,

and height

\ell\sin\alpha=8.

The area is

\frac12(16+4)(8)=80.

Thus the correct answer is C.

25.

X,

Y

y

Z

son conjuntos de personas disjuntos dos a dos. Las edades promedio de las personas en los conjuntos

X,

Y,

Z,

X\cup Y,

X\cup Z

y

Y\cup Z

se muestran en la tabla siguiente.

Conjunto	$X$	$Y$	$Z$	$X\cup Y$	$X\cup Z$	$Y\cup Z$
Edad promedio de las personas del conjunto	$37$	$23$	$41$	$29$	$39.5$	$33$

Halla la edad promedio de las personas del conjunto

X\cup Y\cup Z.

X,

Y,

and

Z

are pairwise disjoint sets of people. The average ages of people in the sets

X,

Y,

Z,

X\cup Y,

X\cup Z,

and

Y\cup Z

are given in the table below.

Set	$X$	$Y$	$Z$	$X\cup Y$	$X\cup Z$	$Y\cup Z$
Average age of people in the set	$37$	$23$	$41$	$29$	$39.5$	$33$

Find the average age of the people in the set

X\cup Y\cup Z.

33

33.5

33.66

33.833

34

Conceptos:weighted averages systems of equations set cardinality

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sean

x,y,z

los tamaños de los tres conjuntos

Let

x,y,z

be the sizes of the three sets

Pista grande:

Cada promedio de una unión proporciona una relación lineal entre

x,y,z

Each union average gives a linear relation among

x,y,z

Solución:

Sean

x,y,z

los tamaños de los conjuntos. Los tres promedios de las uniones dan

\begin{aligned} 37x+23y&=29(x+y),\\ 37x+41z&=39.5(x+z), \end{aligned}

y

23y+41z=33(y+z).

Por tanto,

y=\frac{4x}{3}

y

z=\frac{5x}{3}.

El promedio total es

\frac{\begin{gathered} 37x+23(\frac{4x}{3})\\ {}+41(\frac{5x}{3}) \end{gathered}} {x+\frac{4x}{3}+\frac{5x}{3}}=34.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Let the set sizes be

x,y,z.

The three union averages give

\begin{aligned} 37x+23y&=29(x+y),\\ 37x+41z&=39.5(x+z), \end{aligned}

and

23y+41z=33(y+z).

Thus

y=\frac{4x}{3}

and

z=\frac{5x}{3}.

The total average is

\frac{\begin{gathered} 37x+23(\frac{4x}{3})\\ {}+41(\frac{5x}{3}) \end{gathered}} {x+\frac{4x}{3}+\frac{5x}{3}}=34.

Thus the correct answer is E.

26.

Supón que

p

y

q

son números positivos tales que

\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q). \end{aligned}

¿Cuál es el valor de

\frac{q}{p}

?

Suppose that

p

and

q

are positive numbers for which

\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q). \end{aligned}

What is the value of

\frac{q}{p}?

\frac43

\frac12(1+\sqrt3)

\frac85

\frac12(1+\sqrt5)

\frac{16}{9}

Conceptos:logarithms exponential equations quadratic equations

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Llama

t

al valor común de los logaritmos

Call the common logarithm value

t

Pista grande:

Si

r=\frac{q}{p},

compara

(\frac{16}{9})^t

con

(\frac{12}{9})^t

If

r=\frac{q}{p},

compare

(\frac{16}{9})^t

with

(\frac{12}{9})^t

Solución:

Sea

t

el valor común. Entonces

p=9^t,\ q=12^t,

y

p+q=16^t.

Sea

r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t.

Al dividir la última ecuación entre

p

, se obtiene

\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2. \end{aligned}

Como

r>0,

se tiene

r=\frac{1+\sqrt5}{2}.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Let the common value be

t.

Then

p=9^t,\ q=12^t,

and

p+q=16^t.

Put

r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t.

Dividing the last equation by

p

gives

\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2. \end{aligned}

Since

r>0,

r=\frac{1+\sqrt5}{2}.

Thus the correct answer is D.

27.

En la figura,

AB\perp BC,

BC\perp CD,

y

BC

es tangente a la circunferencia de centro

O

y diámetro

AD.

¿En cuál de los casos siguientes el área de

ABCD

es un entero?

In the figure,

AB\perp BC,

BC\perp CD,

and

BC

is tangent to the circle with center

O

and diameter

AD.

In which one of the following cases is the area of

ABCD

an integer?

AB=3,

CD=1

AB=5,

CD=2

AB=7,

CD=3

AB=9,

CD=4

AB=11,

CD=5

Conceptos:circle tangency potencia de un punto trapezoid area

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Sea

M

el punto de tangencia y usa el diámetro para formar un rectángulo dentro del trapecio

Let the tangent point be

M

and use the diameter to form a rectangle inside the trapezoid

Pista grande:

La potencia del punto

B

relaciona la mitad de

BC

con

AB

y

CD

Power of point

B

relates half of

BC

to

AB

and

CD

Solución:

El punto de tangencia es el punto medio de

BC,

y la relación entre tangente y secante da

(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD.

Por tanto,

BC=2\sqrt{AB\cdot CD},

y el área del trapecio es

\begin{aligned} \text{Área} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned}

Solo

AB=9,\ CD=4

hace que el producto bajo el radical sea un cuadrado; el área es

13\cdot6=78.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The tangent point is the midpoint of

BC,

and the tangent-secant relation gives

(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD.

Thus

BC=2\sqrt{AB\cdot CD},

and the trapezoid area is

\begin{aligned} \text{Area} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned}

Only

AB=9,\ CD=4

makes the product under the radical a square; the area is

13\cdot6=78.

Thus the correct answer is D.

28.

Una moneda sesgada tiene probabilidad

p

de caer cara en un solo lanzamiento. Sea

w

la probabilidad de que, en

5

lanzamientos independientes de esta moneda, se obtengan exactamente

3

caras. Si

w=\frac{144}{625},

entonces

An unfair coin has probability

p

of coming up heads on a single toss. Let

w

be the probability that, in

5

independent tosses of this coin, heads come up exactly

3

times. If

w=\frac{144}{625},

then

p

debe ser

\frac{2}{5}

p

must be

\frac{2}{5}

p

debe ser

\frac{3}{5}

p

must be

\frac{3}{5}

p

debe ser mayor que

\frac{3}{5}

p

must be greater than

\frac{3}{5}

p

no está determinado de manera única

p

is not uniquely determined

no existe ningún valor de

p

para el cual

w=\frac{144}{625}

there is no value of

p

for which

w=\frac{144}{625}

Conceptos:probabilidad binomial continuity nonunique solutions

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Escribe

w

como función de

p

mediante el coeficiente binomial

Write

w

as a function of

p

using the binomial coefficient

Pista grande:

Comprueba un valor sencillo y luego compara la función en

p=\frac{3}{5}

y

p=1

Check one simple value, then compare the function at

p=\frac{3}{5}

and

p=1

Solución:

Aquí,

w(p)=10p^3(1-p)^2.

Para

p=\frac{2}{5},

w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}.

Además,

w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625},

mientras que

w(1)=0.

Por continuidad, hay otra solución entre

\frac{3}{5}

y

1.

Por tanto,

p

no es único.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Here

w(p)=10p^3(1-p)^2.

At

p=\frac{2}{5},

w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}.

Also

w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625},

while

w(1)=0.

By continuity there is another solution between

\frac{3}{5}

and

1.

Hence

p

is not unique.

Thus the correct answer is D.

29.

Representas el peso

(y)

en función de la estatura

(x)

de tres amigos y obtienes los puntos

(x_1,y_1),

(x_2,y_2),

(x_3,y_3).

Si

\begin{aligned} x_1&\lt x_2\lt x_3,\\ x_3-x_2&=x_2-x_1, \end{aligned}

¿cuál de las siguientes expresiones es necesariamente la pendiente de la recta que mejor se ajusta a los datos? «Mejor se ajusta» significa que la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta es menor que para cualquier otra recta.

You plot weight

(y)

against height

(x)

for three of your friends and obtain the points

(x_1,y_1),

(x_2,y_2),

(x_3,y_3).

If

\begin{aligned} x_1&\lt x_2\lt x_3,\\ x_3-x_2&=x_2-x_1, \end{aligned}

which of the following is necessarily the slope of the line which best fits the data? “Best fits” means that the sum of the squares of the vertical distances from the data points to the line is smaller than for any other line.

\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}

\frac{(y_2-y_1)-(y_3-y_2)}{x_3-x_1}

\frac{2y_3-y_1-y_2}{2x_3-x_1-x_2}

\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:least squares pendiente symmetric coordinates

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Traslada y escala las coordenadas

x

para obtener

-1,0,1

Translate and scale the

x

-coordinates to

-1,0,1

Pista grande:

Para una recta de mínimos cuadrados con valores de

x

simétricos, calcula la pendiente a partir del numerador de la covarianza

For a least-squares line through symmetric

x

-values, compute the slope from the covariance numerator

Solución:

Traslada y escala de modo que las coordenadas

x

sean

-d,0,d.

Su promedio es

0,

por lo que la pendiente de la recta de mínimos cuadrados es

\begin{aligned} \frac{(-d)y_1+0y_2+dy_3}{d^2+0+d^2} &=\frac{y_3-y_1}{2d}\\ &=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}. \end{aligned}

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Translate and scale so the

x

-coordinates are

-d,0,d.

Their mean is

0,

so the least-squares slope is

\begin{aligned} \frac{(-d)y_1+0y_2+dy_3}{d^2+0+d^2} &=\frac{y_3-y_1}{2d}\\ &=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}. \end{aligned}

Thus the correct answer is A.

30.

Sea

f(x)=4x-x^2.

Dado

x_0,

considera la sucesión definida por

x_n=f(x_{n-1})

para todo

n\ge1.

¿Para cuántos números reales

x_0

la sucesión

x_0,

x_1,

x_2,

\ldots

toma solo un número finito de valores diferentes?

Let

f(x)=4x-x^2.

Given

x_0,

consider the sequence defined by

x_n=f(x_{n-1})

for all

n\ge1.

For how many real numbers

x_0

will the sequence

x_0,

x_1,

x_2,

\ldots

take on only a finite number of different values?

0

1

o

2

1

or

2

3,

4,

5

o

6

3,

4,

5

or

6

más de

6

, pero una cantidad finita

more than

6

but finitely many

infinitos

infinitely many

Conceptos:function iteration preimages inducción finite orbits

Nivel de dificultad: 2930

Pista pequeña:

Empieza con

0,

y luego busca números que se apliquen sucesivamente a

0

Start with

0,

then find numbers mapping successively to

0

Pista grande:

Para todo

a\le4,

resuelve

4x-x^2=a

y elige una nueva preimagen real

For every

a\le4,

solve

4x-x^2=a

and choose a new real preimage

Solución:

Los valores iniciales

0,4,2

producen las órbitas finitas

0

,

4\to0

y

2\to4\to0.

En general, si

a_n

inicia una cadena finita que termina en

0,

resuelve

4a_{n+1}-a_{n+1}^2=a_n.

Sus soluciones reales son

a_{n+1}=2\pm\sqrt{4-a_n}.

Elegir una preimagen que aún no esté en la cadena la extiende con un valor nuevo. Al repetir este proceso, se obtienen infinitos valores iniciales distintos con órbitas finitas.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

The starting values

0,4,2

give finite orbits

0

,

4\to0

, and

2\to4\to0.

More generally, if

a_n

begins a finite chain ending at

0,

solve

4a_{n+1}-a_{n+1}^2=a_n.

Its real solutions are

a_{n+1}=2\pm\sqrt{4-a_n}.

Choosing a preimage not already in the chain extends it by one new value. Repeating produces infinitely many distinct starting values with finite orbits.

Thus the correct answer is E.