1984 AIME 第 1 题

Question

求

a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}

的值，其中

a_1

、

a_2

、

a_3

、

\ldots

构成公差为

1

的等差数列，且

a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137

。

Find the value of

a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}

if

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

is an arithmetic progression with common difference

1,

and

a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137.

答案

将奇数下标的项与偶数下标的项配对

Pair the odd-indexed terms with the even-indexed terms

每个偶数下标的项都比紧邻其前的奇数下标项大

1

Each even-indexed term is

1

greater than the odd-indexed term immediately before it

令

E=a_2+a_4+\cdots+a_{98}

，

O=a_1+a_3+\cdots+a_{97}

。共有

49

对，并且

a_{2k}-a_{2k-1}=1

，所以

E-O=49

。又有

E+O=137

。将两个等式相加，得到

2E=186

，因此

E=93

。

Let

E=a_2+a_4+\cdots+a_{98}

and

O=a_1+a_3+\cdots+a_{97}.

There are

49

pairs, and

a_{2k}-a_{2k-1}=1,

so

E-O=49.

Also

E+O=137.

Adding the two equations gives

2E=186,

and hence

E=93.

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