1986 AIME 第 7 题

Question

递增数列

1

、

3

、

4

、

9

、

10

、

12

、

13

、

\ldots

由所有为

3

的幂或若干不同的

3

的幂之和的正整数组成。求该数列的第

100

项。

The increasing sequence

1,

3,

4,

9,

10,

12,

13,

\ldots

consists of all those positive integers which are powers of

3

or sums of distinct powers of

3.

Find the

100

th term of this sequence.

答案

答案：981

知识点：进制位值

难度评级：1970

小提示：

这些数恰好是在

3

进制中每一位都为

0

或

1

的数

These are precisely the numbers whose base-

3

digits are all

0

or

1

大提示：

将项数写成

2

进制，再把相同数字串按

3

进制解释

Write the index in base

2,

then reinterpret those same digits in base

3

解答：

不同的

3

的幂之和在

3

进制中只含数字

0

和

1

。随着这些数字串增大，它们的顺序与使用相同数字串的二进制数顺序一致。由于

100=1100100_2\text{，}

第

100

个正整数项为

\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981 \end{aligned}\text{。}

A sum of distinct powers of

3

has only

0

’s and

1

’s in base

3.

As these strings increase, they occur in the same order as binary numerals with the same digit strings. Since

100=1100100_2,

the

100

th positive term is

\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981. \end{aligned}

1986 AIME 第 7 题

答案：981

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

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