1990 AIME 第 7 题

Question

一个三角形的顶点为

P=(-8,5)

、

Q=(-15,-19)

和

R=(1,-7)

。

\angle P

的角平分线方程可写成

ax+2y+c=0

的形式。求

a+c

。

A triangle has vertices

P=(-8,5),

Q=(-15,-19),

and

R=(1,-7).

The equation of the bisector of

\angle P

can be written in the form

ax+2y+c=0.

Find

a+c.

答案

答案：89

知识点：角平分线坐标几何向量

难度评级：2100

小提示：

求从

P

指向

Q

和

R

的单位向量

Find the unit vectors from

P

toward

Q

and

R

大提示：

内角平分线的方向是这两个单位向量之和

The internal angle-bisector direction is the sum of the two unit vectors

解答：

向量

\overrightarrow{PQ}=(-7,-24)

的长度为

25

，而

\overrightarrow{PR}=(9,-12)

的长度为

15

。它们的单位向量之和为

\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44)\end{aligned}\text{，}

所以角平分线的方向为

(2,-11)

。一个法向量为

(11,2)

。该直线经过

P=(-8,5)

，所以方程为

11(x+8)+2(y-5)=0\text{，}

即

11x+2y+78=0

。因此

a+c=11+78=89

。

We have

\overrightarrow{PQ}=(-7,-24)

with length

25,

and

\overrightarrow{PR}=(9,-12)

with length

15.

The sum of their unit vectors is

\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44),\end{aligned}

so the angle bisector has direction

(2,-11).

A normal vector is

(11,2).

Through

P=(-8,5),

its equation is

11(x+8)+2(y-5)=0,

or

11x+2y+78=0.

Hence

a+c=11+78=89.

1990 AIME 第 7 题

答案：89

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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