1989 AIME 第 7 题

Question

将整数

k

分别加到

36

、

300

和

596

上，所得三个数是一个等差数列中连续三项的平方。求

k

。

If the integer

k

is added to each of the numbers

36,

300,

and

596,

one obtains the squares of three consecutive terms of an arithmetic series. Find

k.

答案

答案：925

知识点：等差数列平方差方程组

难度评级：2250

小提示：

将这三个等差数列项写成

x

、

x+r

和

x+2r

Write the three arithmetic-sequence terms as

x,

x+r,

and

x+2r

大提示：

将相邻的平方方程相减，再把所得的两个方程相减

Subtract adjacent square equations, then subtract those two resulting equations

解答：

设这三项为

x

、

x+r

和

x+2r

。将平方方程相减，得到

r(2x+r)=300-36=264

和

r(2x+3r)=596-300=296\text{。}

两式相减得

2r^2=32

，所以

r=\pm4

。将三个数列项同时取相反数不会改变它们的平方，因此不妨取

r=4

。接着由

4(2x+4)=264

，得

x=31

。因此

k=x^2-36=961-36=925

。

Let the three terms be

x,

x+r,

and

x+2r.

Subtracting the square equations gives

r(2x+r)=300-36=264

and

r(2x+3r)=596-300=296.

Their difference is

2r^2=32,

so

r=\pm4.

Negating all three terms does not change their squares, so take

r=4.

Then

4(2x+4)=264,

giving

x=31.

Therefore

k=x^2-36=961-36=925.

1989 AIME 第 7 题

答案：925

难度评级：2250

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题