1987 AIME 第 10 题

Question

艾尔沿一部向上运行的自动扶梯向下走，数了

150

级台阶。鲍勃向上走，数了

75

级台阶。若艾尔的步行速度是鲍勃的三倍，那么任一时刻可见的台阶有多少级？假设此数保持不变。

Al walks down an escalator that is moving up and counts

150

steps. Bob walks up and counts

75

steps. If Al’s walking speed is three times Bob’s, how many steps are visible at a given time? Assume this is constant.

答案

答案：120

知识点：路程、速度与时间方程组

难度评级：1770

小提示：

令鲍勃的速度为

b

，自动扶梯向上的速度为

e

，可见台阶数为

N

Let Bob’s speed be

b,

the escalator’s upward speed be

e,

and the visible count be

N

大提示：

对两人分别把

N

写成净速度与行走时间的乘积

Write

N

as net speed times travel time for each person

解答：

鲍勃所用的时间为

\frac{75}{b}

，所以

N=(b+e)(\frac{75}{b})

，即

N=75(1+\frac{e}{b})

。艾尔所用的时间为

\frac{150}{3b}=\frac{50}{b}

，所以

N=(3b-e)(\frac{50}{b})

，即

N=150-\frac{50e}{b}

。令两式相等，得到

\frac{125e}{b}=75

，从而

\frac{e}{b}=\frac{3}{5}

，且

N=75(1+\frac{3}{5})=120

。

Bob’s time is

\frac{75}{b},

so

N=(b+e)(\frac{75}{b}),

or

N=75(1+\frac{e}{b}).

Al’s time is

\frac{150}{3b}=\frac{50}{b},

so

N=(3b-e)(\frac{50}{b}),

or

N=150-\frac{50e}{b}.

Equating gives

\frac{125e}{b}=75,

hence

\frac{e}{b}=\frac{3}{5}

and

N=75(1+\frac{3}{5})=120.

1987 AIME 第 10 题

答案：120

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

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