1987 AIME 第 4 题

Question

求曲线

|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|

所围区域的面积。

Find the area of the region enclosed by the graph of

|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|.

答案

解出

|y|

，并确定右边在哪些位置非负

Solve for

|y|

and determine where its right-hand side is nonnegative

边界是一个风筝形，其顶点出现在各绝对值表达式的分段点处

The boundary is a kite whose vertices occur at the breakpoints of the absolute values

必须有

|y|=\frac{|x|}{4}-|x-60|\geq0

。因而

48\leq x\leq80

。在

x=48

、

x=60

、

x=80

处，边界上的纵坐标依次为

y=0

、

y=\pm15

、

y=0

。因此该区域是一个风筝形，两条互相垂直的对角线长分别为

80-48=32

和

30

，所以面积为

\frac12(32)(30)=480

。

We need

|y|=\frac{|x|}{4}-|x-60|\geq0.

This forces

48\leq x\leq80.

At

x=48,

x=60,

x=80,

the boundary values are respectively

y=0,

y=\pm15,

y=0.

Hence the region is a kite with perpendicular diagonals

80-48=32

and

30,

so its area is

\frac12(32)(30)=480.

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