1995 AIME 第 4 题

Question

半径分别为

3

和

6

的两个圆彼此外切，并且都与一个半径为

9

的圆内切。半径为

9

的圆有一条弦，它同时是另外两个圆的公外切线。求这条弦长的平方。

Circles of radius

3

and

6

are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius

9.

The circle of radius

9

has a chord that is a common external tangent of the other two circles. Find the square of the length of this chord.

答案

答案：224

知识点：相切圆弦坐标几何

难度评级：1940

小提示：

三个圆心共线，因为它们两两之间的距离为

6

、

3

和

9

The three circle centers are collinear because their pairwise distances are

6,

3,

and

9

大提示：

利用两个小圆圆心到公切线的有向距离，求出大圆圆心到该切线的距离

Use signed distances from the two smaller centers to the common tangent to find its distance from the large center

解答：

将半径为

9

的圆的圆心置于原点，并将两个小圆的圆心分别置于

(-6,0)

和

(3,0)

。将公外切线写成

\mathbf n\cdot(x,y)=c

，其中

\mathbf n

是单位法向量。两个圆心到直线的有向距离之差为

6-3=3

，所以

9n_x=3

，且

n_x=\frac{1}{3}

。再利用距离

3

（从

(-6,0)

量起），得到

|c|=5

。因此这条弦到大圆圆心的距离为

5

，弦长的平方为

4(9^2-5^2)=4\cdot56=224\text{。}

Put the radius-

9

circle at the origin and the smaller centers at

(-6,0)

and

(3,0).

Write the common external tangent as

\mathbf n\cdot(x,y)=c,

where

\mathbf n

is a unit normal. Its signed distances from the two centers differ by

6-3=3,

so

9n_x=3

and

n_x=\frac{1}{3}.

Using the distance

3

from

(-6,0)

gives

|c|=5.

Thus the chord lies

5

units from the large center, and its squared length is

4(9^2-5^2)=4\cdot56=224.

1995 AIME 第 4 题

答案：224

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

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