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1993 AIME 第 4 题

先试着解答 1993 AIME 第 4 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1993 AIME 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

4.

有多少个有序整数四元组

(a,b,c,d)

满足

0<a<b<c<d<500

、

a+d=b+c

和

bc-ad=93

？

How many ordered four-tuples of integers

(a,b,c,d)

with

0<a<b<c<d<500

satisfy

a+d=b+c

and

bc-ad=93?

答案

答案：870

知识点：分类讨论区间内整数计数因式分解

难度评级：2310

小提示：

第一个方程意味着

b-a=d-c

The first equation implies that

b-a=d-c

大提示：

令

x=b-a=d-c

，并将

bc-ad

用

x

和

c-a

因式分解

Set

x=b-a=d-c

and factor

bc-ad

in terms of

x

and

c-a

解答：

令

x=b-a=d-c>0

，且

y=c-a

。于是

\begin{aligned}bc-ad&=(a+x)c-a(c+x)\\&=x(c-a)=xy=93\end{aligned}\text{。}

由于

b<c

，必须有

x<y

。正因数对为

(x,y)=(1,93)

和

(3,31)

。在第一种情况下，

d=a+94<500

，所以有

405

种

a

的选择。在第二种情况下，

d=a+34<500

，所以有

465

种选择。总数为

405+465=870

。

Let

x=b-a=d-c>0

and

y=c-a.

Then

\begin{aligned}bc-ad&=(a+x)c-a(c+x)\\&=x(c-a)=xy=93.\end{aligned}

Since

b<c,

we need

x<y.

The positive factor pairs are

(x,y)=(1,93)

and

(3,31).

For the first,

d=a+94<500

gives

405

choices for

a.

For the second,

d=a+34<500

gives

465

choices. The total is

405+465=870.