1994 AIME 第 4 题

Question

求满足下式的正整数

n

：

\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994\end{aligned}\text{。}

（对实数

x

，

\lfloor x\rfloor

表示不超过

x

的最大整数。）

Find the positive integer

n

for which

\begin{aligned}&\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\lfloor\log_2 3\rfloor\\&\quad+\cdots+\lfloor\log_2 n\rfloor=1994.\end{aligned}

(For real

x,

\lfloor x\rfloor

is the greatest integer not exceeding

x.

)

答案

答案：312

知识点：取整函数对数 2的幂

难度评级：1980

小提示：

将

\lfloor\log_2 k\rfloor

取值相同的整数分为一组

Group integers having the same value of

\lfloor\log_2 k\rfloor

大提示：

先计算到

255

为止的和；此后每个新增项起初都贡献

8

Compute the sum through

255

, after which every new term initially contributes

8

解答：

当

2^j\leq k<2^{j+1}

时，相应的加数为

j

。因此，到

255=2^8-1

为止的和为

\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538\text{。}

剩余的

1994-1538=456

等于

57\cdot8

，所以还要加入

57

个从

256

开始的整数。因此

n=255+57=312

。

For

2^j\leq k<2^{j+1},

the summand is

j.

Thus the sum through

255=2^8-1

is

\sum_{j=0}^7j2^j=(8-2)2^8+2=1538.

The remaining

1994-1538=456

is

57\cdot8,

so we include

57

more integers beginning with

256.

Hence

n=255+57=312.

1994 AIME 第 4 题

答案：312

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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