1987 AIME 第 8 题

Question

使得恰有一个整数

k

满足

\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}

的最大正整数

n

是多少？

What is the largest positive integer

n

for which there is a unique integer

k

such that

\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}?

答案

分别解出两个关于

k

的不等式

Solve both inequalities for

k

研究开区间

(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})

内的整数

Study the integers in the open interval

(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})

这两个不等式等价于

\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}

。该区间的长度为

\frac{n}{56}

。当

n=112

时，区间为

(96,98)

，其中只有整数

97

。当

n>112

时，区间长度大于

2

，所以其中至少有两个整数。因此最大的

n

为

112

。

The inequalities are equivalent to

\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}.

This interval has length

\frac{n}{56}.

At

n=112

it is

(96,98),

containing only

97.

For

n>112

its length exceeds

2,

so it contains at least two integers. Thus the largest possible

n

is

112.

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