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1952 AMC 12 第 36 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

36.

为使函数在

x=-1

处连续，应将

\dfrac{x^3+1}{x^2-1}

的值定义为：

To be continuous at

x=-1,

the value of

\dfrac{x^3+1}{x^2-1}

is taken to be:

-2

0

\dfrac32

\infty

-\dfrac32

答案：E

知识点：微积分因式分解

难度评级：1450

小提示：

代入

x=-1

前，先将分子和分母因式分解

Factor both numerator and denominator before substituting

x=-1

大提示：

约去公因式

x+1

，再计算剩余表达式的值

Cancel the common factor

x+1

and evaluate the remaining expression

解答：

当

x\ne-1

时，

\begin{aligned} \frac{x^3+1}{x^2-1} &=\frac{(x+1)(x^2-x+1)} {(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{x^2-x+1}{x-1} \end{aligned}\text{。}

它在

x=-1

处的极限为

\frac{1+1+1}{-2}=-\frac32\text{。}

将函数在该点定义为此值即可消除间断。

因此，正确答案是 E。

For

x\ne-1,

\begin{aligned} \frac{x^3+1}{x^2-1} &=\frac{(x+1)(x^2-x+1)} {(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{x^2-x+1}{x-1}. \end{aligned}

Its limit at

x=-1

is

\frac{1+1+1}{-2}=-\frac32.

Assigning this value removes the discontinuity.

Thus, the correct answer is E.

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