1966 AMC 12 第 36 题

Question

设

\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}

是关于

x

的恒等式。若令

s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n}

，则

s

等于：

Let

\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}

be an identity in

x.

If we let

s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},

then

s

equals:

2^n

2^n+1

\dfrac{3^n-1}{2}

\dfrac{3^n}{2}

\dfrac{3^n+1}{2}

分别令多项式中的

x=1

与

x=-1

Evaluate the polynomial at

x=1

and

x=-1

将这两个值相加，所有奇数次项的系数都会相消

Adding those two values cancels all odd-degree coefficients

设

P(x)=(1+x+x^2)^n

。则

P(1)=3^n

是所有系数之和，而

P(-1)=1

是偶数次项系数之和减去奇数次项系数之和。因此

s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Let

P(x)=(1+x+x^2)^n.

Then

P(1)=3^n

is the sum of all coefficients, while

P(-1)=1

is the even-coefficient sum minus the odd-coefficient sum. Therefore

s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.

Therefore, the correct answer is E.

其他年份的第 36 题