1967 AMC 12 第 36 题

Question

一个等比数列有五项，每项都是小于

100

的正整数。五项之和为

211

。若

S

是其中所有完全平方数项之和，则

S

为：

Given a geometric progression of five terms, each a positive integer less than

100.

The sum of the five terms is

211.

If

S

is the sum of those terms in the progression which are squares of integers, then

S

is:

0

91

133

195

211

答案：C

知识点：等比数列整除性完全平方数分类讨论

难度评级：2380

小提示：

将有理公比约成最简分数

\frac{c}{d}

Write the rational common ratio in lowest terms as

\frac{c}{d}

大提示：

各项均为整数意味着中间项是

c^2d^2

的倍数；再利用

211

是质数

Integrality forces the middle term to be a multiple of

c^2d^2

; use that

211

is prime

解答：

设最简形式的公比为

\frac{c}{d}

，中间项为

a

。因为五项都是整数，所以

a

是

c^2d^2

的倍数，可写成

a=kc^2d^2

。此时总和

211

能被

k

整除，所以

k

为

1

或

211

。但中间项

a

小于

100

，故

k=1

。

因此

\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211 \end{aligned}\text{。}

由范围限制可知

c,d\lt4

。若其中一个为

1

，可能的总和为

5

、

31

或

121

，都不是

211

。再结合互质条件，只剩

c

与

d

分别为

2

和

3

，次序可以互换。这个数列为

16

、

24

、

36

、

54

、

81

。其中完全平方数项之和为

16+36+81=133

。

因此，正确答案是 C。

Let the common ratio be

\frac{c}{d}

in lowest terms and the middle term be

a.

Since all five terms are integers,

a

is divisible by

c^2d^2,

so write

a=kc^2d^2.

The sum

211

is then divisible by

k.

Thus

k

is

1

or

211.

But the middle term

a

is less than

100,

so

k=1.

Thus

\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned}

The bound gives

c,d\lt4.

If either is

1,

the possible sums are

5,

31,

or

121,

not

211.

Coprimality therefore leaves

c

and

d

equal to

2

and

3

in either order. The progression is

16,

24,

36,

54,

81.

Its square terms sum to

16+36+81=133.

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 第 36 题

答案：C

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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