1962 AMC 12 第 36 题

Question

若

x

和

y

都是整数，则方程

(x-8)(x-10)=2^y

有多少组解？

If both

x

and

y

are integers, how many solutions are there to the equation

(x-8)(x-10)=2^y?

0

1

2

3

多于

3

组

more than

3

答案：C

知识点：丢番图方程 2的幂平方差

难度评级：1900

小提示：

将左边改写为

(x-9)^2-1

Rewrite the left side as

(x-9)^2-1

大提示：

若

n=x-9

，则相邻的两个偶数因式

n-1

和

n+1

都必须是

2

的幂

If

n=x-9,

then the consecutive even factors

n-1

and

n+1

must both be powers of

2

解答：

令

n=x-9

。则

2^y=n^2-1=(n-1)(n+1)\text{。}

由于乘积是

2

的幂，两个因式都不能含有奇素因子。相差

2

且均为带符号的

2

的幂的相邻偶数，只有

(-4,-2)

和

(2,4)

。因此

n=\pm3

且

y=3

，给出

x=6

或

12

。共有

2

个有序数对

(x,y)

。

所以正确答案是 C。

Put

n=x-9.

Then

2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).

Since the product is a power of

2,

both factors must have no odd prime divisor. The only consecutive even integers differing by

2

that are both signed powers of

2

are

(-4,-2)

and

(2,4).

Thus

n=\pm3

and

y=3,

giving

x=6

or

12.

There are

2

ordered pairs

(x,y).

Therefore, the correct answer is C.

1962 AMC 12 第 36 题

答案：C

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

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