1952 AMC 12 第 47 题

Question

对方程组

z^x=y^{2x}

、

2^z=2\cdot4^x

、

x+y+z=16

，按

x

、

y

、

z

的顺序，其整数解为：

In the set of equations

z^x=y^{2x},

2^z=2\cdot4^x,

x+y+z=16,

the integral roots in the order

x,

y,

z

are:

3

，

4

，

9

3,

4,

9

9

，

-5

，

12

9,

-5,

12

12

，

-5

，

9

12,

-5,

9

4

，

3

，

9

4,

3,

9

4

，

9

，

3

4,

9,

3

答案：D

知识点：指数丢番图方程方程组

难度评级：1810

小提示：

比较

2^z=2\cdot4^x

中的指数，得到

z

关于

x

的表达式

Compare exponents in

2^z=2\cdot4^x

to express

z

in terms of

x

大提示：

对题目预期的正数解，

z^x=y^{2x}

给出

z=y^2

；将两个关系都代入和式

For the intended positive solution,

z^x=y^{2x}

gives

z=y^2

; substitute both relations into the sum

解答：

对于题目预期的正整数解，第一个方程给出

z=y^2

。第二个方程为

2^z=2^{2x+1}\text{，}

所以

z=2x+1

，且

x=\frac{y^2-1}{2}

。代入

x+y+z=16

，得到

\frac{y^2-1}{2}+y+y^2=16\text{。}

正整数解为

y=3

，从而

x=4

、

z=9

。直接代入即可验证三个方程均成立。

因此，题目各选项中预期的答案是 D。

For the intended positive integral solution, the first equation gives

z=y^2.

The second equation is

2^z=2^{2x+1},

so

z=2x+1

and

x=\frac{y^2-1}{2}.

Substituting into

x+y+z=16

gives

\frac{y^2-1}{2}+y+y^2=16.

The positive integral solution is

y=3,

which gives

x=4

and

z=9.

Direct substitution verifies all three displayed equations.

Thus, the intended listed answer is D.

1952 AMC 12 第 47 题

答案：D

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

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