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1958 AMC 12 第 41 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

41.

方程

Ax^2+Bx+C=0

的两根为

r

和

s

。若方程

x^2+px+q=0

的两根为

r^2

和

s^2

，则

p

必须等于：

The roots of

Ax^2+Bx+C=0

are

r

and

s.

For the roots of

x^2+px+q=0

to be

r^2

and

s^2,

p

must equal:

\dfrac{B^2-4AC}{A^2}

\dfrac{B^2-2AC}{A^2}

\dfrac{2AC-B^2}{A^2}

B^2-2C

2C-B^2

答案：C

知识点：韦达定理二次方程对称性（代数）

难度评级：1590

小提示：

对新的首一二次方程，

p

是两根之和

r^2+s^2

的相反数

For the new monic quadratic,

p

is the negative of the sum

r^2+s^2

大提示：

写出

r^2+s^2=(r+s)^2-2rs

，并对原二次方程使用韦达定理

Write

r^2+s^2=(r+s)^2-2rs

and use Vieta’s formulas for the original quadratic

解答：

对原二次方程，

r+s=-\frac BA,\qquad rs=\frac CA\text{。}

因此

\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=\frac{B^2-2AC}{A^2} \end{aligned}\text{。}

系数

p

是这个和的相反数，所以

p=\frac{2AC-B^2}{A^2}\text{。}

所以正确答案为 C。

For the original quadratic,

r+s=-\frac BA,\qquad rs=\frac CA.

Hence

\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=\frac{B^2-2AC}{A^2}. \end{aligned}

The coefficient

p

is the negative of this sum, so

p=\frac{2AC-B^2}{A^2}.

Therefore, the correct answer is C.

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