1950 AMC 12 第 41 题

Question

当

a>0

时，函数

ax^2+bx+c

的最小值为：

The least value of the function

ax^2+bx+c

with

a>0

is:

-\dfrac ba

-\dfrac{b}{2a}

b^2-4ac

\dfrac{4ac-b^2}{4a}

以上答案均不正确

None of these

对

ax^2+bx+c

配方

Complete the square in

ax^2+bx+c

由于

a>0

，平方项等于零时取最小值

Since

a>0,

the squared term is minimized when it equals zero

配方得到

\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a} \end{aligned}\text{。}

因为

a>0

，平方项的最小值为

0

。因此，函数的最小值为

c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Completing the square gives

\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned}

Because

a>0,

the squared term has minimum

0.

The least value is therefore

c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.

Thus, the correct answer is D.

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