Question

El punto $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita a $\triangle ABC,$ con $\angle BOC = 120^\circ$ y $\angle AOB = 140^\circ,$ como se muestra. ¿Cuál es la medida en grados de $\angle ABC$ ?

The point $O$ is the center of the circle circumscribed about $\triangle ABC,$ with $\angle BOC = 120^\circ$ and $\angle AOB = 140^\circ,$ as shown. What is the degree measure of $\angle ABC?$

$35$

$40$

$45$

$50$

$60$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Cada radio es igual, así que cada uno de los triángulos $AOB, BOC, COA$ es isósceles.

Each radius is equal, so each of the triangles $AOB, BOC, COA$ is isosceles

Pista grande:

$\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC,$ donde cada parte es un ángulo de la base de un triángulo isósceles.

$\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC,$ where each part is a base angle of an isosceles triangle

Solución:

Como $OA=OB=OC,$ los triángulos $AOB, BOC,$ y $COA$ son isósceles. Los ángulos de la base dan $\angle ABO=\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$ y $\angle OBC=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$

Por lo tanto $\angle ABC=20^\circ+30^\circ=50^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $OA=OB=OC,$ triangles $AOB, BOC,$ and $COA$ are isosceles. The base angles give $\angle ABO=\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$ and $\angle OBC=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$

Therefore $\angle ABC=20^\circ+30^\circ=50^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10B Problema 4

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años