Question

En el viaje de regreso de la reunión donde se elaboró este AMC $10,$ el Presidente del Concurso notó que su recibo de estacionamiento del aeropuerto tenía dígitos de la forma $bbcac,$ donde $0\le a\lt b\lt c\le 9,$ y $b$ era el promedio de $a$ y $c.$ ¿Cuántos números distintos de cinco cifras satisfacen todas estas propiedades?

On the trip home from the meeting where this AMC $10$ was constructed, the Contest Chair noted that his airport parking receipt had digits of the form $bbcac,$ where $0\le a\lt b\lt c\le 9,$ and $b$ was the average of $a$ and $c.$ How many different five-digit numbers satisfy all these properties?

$12$

$16$

$18$

$20$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos paridad combinaciones

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

La condición $b=\dfrac{a+c}{2}$ obliga a que $a$ y $c$ tengan la misma paridad.

The condition $b=\dfrac{a+c}{2}$ forces $a$ and $c$ to have the same parity

Pista grande:

Cuenta los pares $a\lt c$ entre los dígitos pares y entre los impares; cada par determina $b$ .

Count pairs $a\lt c$ among the even digits and among the odd digits; each pair fixes $b$

Solución:

Una vez elegidos $a$ y $c,$ $b=\dfrac{a+c}{2}$ queda determinado, y $a\lt b\lt c$ se cumple automáticamente. Para que $b$ sea entero, $a$ y $c$ deben tener la misma paridad.

Elegir dos dígitos pares de $\{0,2,4,6,8\}$ da $\binom{5}{2}=10$ pares, y elegir dos dígitos impares de $\{1,3,5,7,9\}$ da otros $10.$

Esto da $20$ números válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Once $a$ and $c$ are chosen, $b=\dfrac{a+c}{2}$ is determined, and $a\lt b\lt c$ holds automatically. For $b$ to be an integer, $a$ and $c$ must share parity.

Choosing two even digits from $\{0,2,4,6,8\}$ gives $\binom{5}{2}=10$ pairs, and choosing two odd digits from $\{1,3,5,7,9\}$ gives another $10.$

This yields $20$ valid numbers.

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10B Problema 8

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años