Question

¿Cuál es la suma de los dígitos del cuadrado de $111{,}111{,}111$ ?

What is the sum of the digits of the square of $111{,}111{,}111?$

$18$

$27$

$45$

$63$

$81$

Respuesta: E

Conceptos:dígitos palíndromo reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Intenta elevar al cuadrado los números más cortos formados solo por unos, $11,$ $111,$ $1111$ , para detectar un patrón.

Try squaring the shorter repunits $11,$ $111,$ $1111$ to spot a pattern

Pista grande:

El cuadrado del número de nueve dígitos formado solo por unos es $12345678987654321$ .

The square of the nine-digit repunit is $12345678987654321$

Solución:

El cuadrado del número de nueve dígitos formado solo por unos es el palíndromo $\begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321. \end{aligned}$

Sus dígitos son $1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1,$ así que la suma es $\begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

The square of the nine-digit repunit is the palindrome $\begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321. \end{aligned}$

Its digits are $1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1,$ so the sum is $\begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 10A Problema 5

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años