Question

¿Cuántos múltiplos pares positivos de $3$ menores que $2020$ son cuadrados perfectos?

How many positive even multiples of $3$ less than $2020$ are perfect squares?

$7$

$8$

$9$

$10$

$12$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrado perfecto divisibilidad

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Un cuadrado que es múltiplo par de $3$ tiene raíz cuadrada divisible entre $6$ .

A square that is an even multiple of $3$ has a square root divisible by $6$

Pista grande:

Cuenta los múltiplos positivos de $6$ cuyos cuadrados son menores que $2020$ .

Count positive multiples of $6$ whose squares are less than $2020$

Solución:

Un número que es a la vez par y múltiplo de $3$ es múltiplo de $6$ . Si tal número también es un cuadrado perfecto, su raíz cuadrada debe ser divisible entre $2$ y $3$ , y por lo tanto entre $6$ . Así, los números contados son exactamente $(6k)^2<2020$ para enteros positivos $k$ .

Como $42^2=1764<2020$ y $48^2=2304>2020$ , tenemos $k=1,2,\ldots,7$ , para un total de $7$ números.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A number that is both even and a multiple of $3$ is a multiple of $6.$ If such a number is also a perfect square, its square root must be divisible by both $2$ and $3,$ hence by $6.$ Therefore the numbers counted are exactly $(6k)^2<2020$ for positive integers $k.$

Since $42^2=1764<2020$ and $48^2=2304>2020,$ we have $k=1,2,\ldots,7,$ for a total of $7$ numbers.

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 7

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años