Question

¿Cuántos pares ordenados de enteros $(x, y)$ satisfacen la ecuación $x^{2020}+y^2=2y?$

How many ordered pairs of integers $(x, y)$ satisfy the equation $x^{2020}+y^2=2y?$

$1$

$2$

$3$

$4$

Infinitos

infinitely many

Respuesta: D

Conceptos:Ecuación diofántica completar el cuadrado acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $y$ .

Complete the square in $y$

Pista grande:

La ecuación obliga a $x^{2020}\le 1,$ así que solo son posibles unos pocos valores enteros de $x$ .

The equation forces $x^{2020}\le 1,$ so only a few integer $x$ -values are possible

Solución:

Pasamos todos los términos a un lado y completamos el cuadrado: $\begin{aligned} &x^{2020}+y^2=2y \\ &\quad \Longrightarrow x^{2020}+(y-1)^2=1. \end{aligned}$ Como $(y-1)^2\ge 0$ , debe cumplirse $x^{2020}\le 1$ . Como $x$ es entero, $x=-1,0,1$ .

Si $x=\pm1$ , entonces $(y-1)^2=0$ , así que $y=1$ . Si $x=0$ , entonces $(y-1)^2=1$ , así que $y=0$ o $2$ . Esto da $4$ pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Move all terms to one side and complete the square: $\begin{aligned} &x^{2020}+y^2=2y \\ &\quad \Longrightarrow x^{2020}+(y-1)^2=1. \end{aligned}$ Because $(y-1)^2\ge 0,$ we must have $x^{2020}\le 1.$ Since $x$ is an integer, $x=-1,0,1.$

If $x=\pm1,$ then $(y-1)^2=0,$ so $y=1.$ If $x=0,$ then $(y-1)^2=1,$ so $y=0$ or $2.$ This gives $4$ ordered pairs.

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 9

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años