Question

Sea $L_n$ el mínimo común múltiplo de los números $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n,$ y sea $h$ el único entero positivo tal que $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}}$ ¿Cuál es el residuo cuando $h$ se divide entre $17$ ?

Let $L_n$ denote the least common multiple of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n,$ and let $h$ be the unique positive integer such that $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}}$ What is the remainder when $h$ is divided by $17?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Trabaja módulo $17$ después de multiplicar por el mínimo común múltiplo.

Work modulo $17$ after multiplying by the least common multiple

Pista grande:

Todos los términos salvo el que proviene de $\frac{1}{17}$ se anulan módulo $17$ .

All terms except the one from $\frac{1}{17}$ vanish modulo $17$

Solución:

Multiplicando la suma armónica por $L_{17},$ obtenemos $h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.$

Para $1\le i\le16,$ el término $\frac{L_{17}}{i}$ sigue siendo divisible entre $17,$ así que estos términos contribuyen $0\pmod{17}.$

Por lo tanto $h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}.$ El mínimo común múltiplo $L_{17}$ contiene los factores de potencia prima $16,9,5,7,11,13,17,$ así que $\begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}$

Reduciendo módulo $17,$ esto es $(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ $\equiv5\pmod{17}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Multiplying the harmonic sum by $L_{17},$ we get $h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.$

For $1\le i\le16,$ the term $\frac{L_{17}}{i}$ is still divisible by $17,$ so these terms contribute $0\pmod{17}.$

Thus $h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}.$ The least common multiple $L_{17}$ contains the prime-power factors $16,9,5,7,11,13,17,$ so $\begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}$

Reducing modulo $17,$ this is $(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ $\equiv5\pmod{17}.$

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años