Question

¿Cuál es la suma de los dígitos del menor primo que puede escribirse como suma de $5$ primos distintos?

What is the sum of the digits of the smallest prime that can be written as a sum of $5$ distinct primes?

$5$

$7$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: B

Conceptos:primo paridad optimización

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Usar $2$ hace que la suma sea par y mayor que $2,$ así que no puede ser primo; usa cinco primos impares.

Using $2$ makes the sum even and larger than $2,$ so it cannot be prime; use five odd primes

Pista grande:

Los cinco primos impares más pequeños suman $39,$ que no es primo; aumenta hasta la siguiente suma que sea prima.

The five smallest odd primes sum to $39,$ which is not prime; increase to the next prime sum

Solución:

Supongamos que $2$ es uno de los cinco primos. Entonces el total es par y mayor que $2,$ así que es compuesto. Eso significa que los cinco primos deben ser impares. Los cinco primos impares más pequeños dan $3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$ $= 3 \cdot 13,$ que no es primo. La siguiente suma posible se obtiene reemplazando $13$ por el siguiente primo, $17;$ cambiar cualquier término anterior obliga a un aumento al menos igual de grande para mantener los primos distintos. Esto da $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43,$ que es primo. Su suma de dígitos es $4 + 3 = 7.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Suppose $2$ is one of the five primes. Then the total is even and bigger than $2,$ so it is composite. Thus all five primes must be odd. The five smallest odd primes give $3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$ $= 3 \cdot 13,$ which is not prime. The next possible sum is obtained by replacing $13$ with the next prime, $17;$ changing any earlier term forces at least as large an increase to keep the primes distinct. This gives $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43,$ which is prime. Its digit sum is $4 + 3 = 7.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 3

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años