Question

¿Cuál es el mínimo número de intercambios sucesivos de letras adyacentes en la cadena ABCDEF necesarios para cambiar la cadena a FEDCBA?

Por ejemplo, se requieren $3$ intercambios para cambiar ABC a CBA; una de esas secuencias de intercambios es ABC $\to$ BAC $\to$ BCA $\to$ CBA.

What is the minimum number of successive swaps of adjacent letters in the string ABCDEF that are needed to change the string to FEDCBA?

(For example, $3$ swaps are required to change ABC to CBA; one such sequence of swaps is ABC $\to$ BAC $\to$ BCA $\to$ CBA.)

$6$

$10$

$12$

$15$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:permutaciones conteo de pares invariante

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Cada intercambio de adyacentes cambia el orden relativo de exactamente un par de letras.

Each adjacent swap changes the relative order of exactly one pair of letters

Pista grande:

En la cadena completamente invertida cada par de letras queda desordenado; cuenta los pares con $\binom{6}{2}$ .

In the fully reversed string every pair of letters is out of order; count the pairs with $\binom{6}{2}$

Solución:

Invertir las seis letras cambia el orden relativo de cada par, así que los $\binom{6}{2} = 15$ pares terminan invertidos. Cada intercambio de adyacentes corrige exactamente una inversión. Así que necesitamos al menos $15$ intercambios, y llevar cada letra a su lugar por burbujeo alcanza exactamente $15$ . Por lo tanto, la respuesta es D.

Reversing all six letters flips the relative order of every pair, so all $\binom{6}{2} = 15$ pairs end up inverted. Each adjacent swap fixes exactly one inversion. So we need at least $15$ swaps, and bubbling each letter into place hits $15$ exactly. Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10A Problema 6

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años