Question

Los números reales $a,$ $b,$ y $c$ tienen media aritmética $0.$ La media aritmética de $a^2,$ $b^2,$ y $c^2$ es $10.$ ¿Cuál es la media aritmética de $ab,$ $ac,$ y $bc$ ?

Real numbers $a,$ $b,$ and $c$ have arithmetic mean $0.$ The arithmetic mean of $a^2,$ $b^2,$ and $c^2$ is $10.$ What is the arithmetic mean of $ab,$ $ac,$ and $bc?$

$-5$

$-\dfrac{10}{3}$

$-\dfrac{10}{9}$

$0$

$\dfrac{10}{9}$

Respuesta: A

Conceptos:manipulación algebraica media

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Media $0$ significa $a + b + c = 0;$ media $10$ significa $a^2 + b^2 + c^2 = 30$ .

Mean $0$ means $a + b + c = 0;$ mean $10$ means $a^2 + b^2 + c^2 = 30$

Pista grande:

Usa $(a + b + c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca)$ .

Use $(a + b + c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca)$

Solución:

Las medias nos dicen que $a + b + c = 0$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 30.$ Eleva al cuadrado la primera: $(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca),$ así que $0 = 30 + 2(ab + bc + ca)$ y $ab + bc + ca = -15.$ Su media es $-\frac{15}{3} = -5.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The means tell us $a + b + c = 0$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 30.$ Square the first: $(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca),$ so $0 = 30 + 2(ab + bc + ca)$ and $ab + bc + ca = -15.$ Their mean is $-\frac{15}{3} = -5.$ Thus, A is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 9

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años