1952 AMC 12 Problema 45

Question

Si

a

y

b

son dos números positivos distintos, entonces:

If

a

and

b

are two unequal positive numbers, then:

\dfrac{2ab}{a+b}\gt\sqrt{ab}\gt\dfrac{a+b}{2}

\sqrt{ab}\gt\dfrac{2ab}{a+b}\gt\dfrac{a+b}{2}

\dfrac{2ab}{a+b}\gt\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}

\dfrac{a+b}{2}\gt\dfrac{2ab}{a+b}\gt\sqrt{ab}

\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}\gt\dfrac{2ab}{a+b}

Reconoce las medias aritmética, geométrica y armónica de

a

y

b

Recognize the arithmetic, geometric, and harmonic means of

a

and

b

Para números positivos distintos, las desigualdades entre las medias son estrictas

For unequal positive numbers, the mean inequalities are strict

La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica da

\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}

para valores positivos distintos

a,b.

Al aplicar la misma desigualdad a

\frac{1}{a}

y

\frac{1}{b}

se obtiene

\sqrt{ab}\gt\frac{2ab}{a+b}.

Así, el orden decreciente es media aritmética, media geométrica y media armónica.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The arithmetic-geometric mean inequality gives

\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}

for unequal positive

a,b.

Applying the same inequality to

\frac{1}{a}

and

\frac{1}{b}

gives

\sqrt{ab}\gt\frac{2ab}{a+b}.

Therefore the decreasing order is arithmetic mean, geometric mean, harmonic mean.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 45 en otros años