1955 AMC 12 Problema 45

Question

Se dan una sucesión geométrica cuyo primer término es

\ne0

y con

r\ne0

, y una sucesión aritmética cuyo primer término es

=0.

Se forma una tercera sucesión

1,

1,

2,

\ldots

sumando los términos correspondientes de las dos sucesiones dadas. La suma de los primeros diez términos de la tercera sucesión es:

Given a geometric sequence with the first term

\ne0

and

r\ne0

and an arithmetic sequence with the first term

=0.

A third sequence

1,

1,

2,

\ldots

is formed by adding corresponding terms of the two given sequences. The sum of the first ten terms of the third sequence is:

978

557

467

1068

no puede determinarse con la información dada

not possible to determine from the information given

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética systems of equations

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Escribe las dos sucesiones como

a,ar,ar^2,\ldots

y

0,d,2d,\ldots

Write the two sequences as

a,ar,ar^2,\ldots

and

0,d,2d,\ldots

Pista grande:

Usa las tres primeras sumas y la condición

r\ne0

para determinar

a,r,d

Use the first three sums and the condition

r\ne0

to determine

a,r,d

Solución:

Las tres primeras sumas término a término dan

\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned}

Al sustituir

d=1-r

se obtiene

r(r-2)=0.

Como

r\ne0,

tenemos

r=2

y

d=-1.

Los primeros diez términos geométricos suman

2^{10}-1=1023,

mientras que los primeros diez términos aritméticos suman

0-1-\cdots-9=-45.

Su suma combinada es

1023-45=978.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first three termwise sums give

\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned}

Substituting

d=1-r

yields

r(r-2)=0.

Since

r\ne0,

we have

r=2

and

d=-1.

The first ten geometric terms sum to

2^{10}-1=1023,

while the first ten arithmetic terms sum to

0-1-\cdots-9=-45.

Their combined sum is

1023-45=978.

Thus, the correct answer is A.