1955 AMC 12 第 45 题

Question

给定一个首项

\ne0

且

r\ne0

的等比数列，以及一个首项

=0

的等差数列。将这两个数列的对应项相加，得到第三个数列

1

、

1

、

2

、

\ldots

。第三个数列前十项的和为：

Given a geometric sequence with the first term

\ne0

and

r\ne0

and an arithmetic sequence with the first term

=0.

A third sequence

1,

1,

2,

\ldots

is formed by adding corresponding terms of the two given sequences. The sum of the first ten terms of the third sequence is:

978

557

467

1068

无法由已知信息确定

not possible to determine from the information given

答案：A

知识点：等比数列等差数列 systems of equations

难度评级：1930

小提示：

将两个数列分别写成

a,ar,ar^2,\ldots

和

0,d,2d,\ldots

Write the two sequences as

a,ar,ar^2,\ldots

and

0,d,2d,\ldots

大提示：

利用前三项之和以及条件

r\ne0

求出

a,r,d

Use the first three sums and the condition

r\ne0

to determine

a,r,d

解答：

前三个对应项之和给出

\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2 \end{aligned}\text{。}

代入

d=1-r

，得

r(r-2)=0

。由于

r\ne0

，所以

r=2

，且

d=-1

。等比数列前十项之和为

2^{10}-1=1023

，等差数列前十项之和为

0-1-\cdots-9=-45

。两者之和为

1023-45=978

。

因此，正确答案是 A。

The first three termwise sums give

\begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned}

Substituting

d=1-r

yields

r(r-2)=0.

Since

r\ne0,

we have

r=2

and

d=-1.

The first ten geometric terms sum to

2^{10}-1=1023,

while the first ten arithmetic terms sum to

0-1-\cdots-9=-45.

Their combined sum is

1023-45=978.

Thus, the correct answer is A.

1955 AMC 12 第 45 题

答案：A

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

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