LIVELIVE
In EnglishEn chino

Problemas del 1955 AMC 12

50 problemas · 75 minutos

¡Desplázate hacia abajo y presiona Iniciar para intentar el examen! O ve al PDF imprimible, la clave de respuestas, o las soluciones profesionales preparadas por LIVE by Po-Shen Loh.

O salta directamente a un solo problema con su solución: 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 · 25 · 26 · 27 · 28 · 29 · 30 · 31 · 32 · 33 · 34 · 35 · 36 · 37 · 38 · 39 · 40 · 41 · 42 · 43 · 44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49 · 50

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

¿Quieres aprender de forma profesional con clases interactivas en video?

Aprende con LIVE

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál de las siguientes expresiones no equivale a 0.0000003750.000000375?
Which one of the following is not equivalent to 0.000000375?0.000000375?
3.75×10−73.75\times10^{-7}
334×10−73\dfrac34\times10^{-7}
375×10−9375\times10^{-9}
38×10−7\dfrac38\times10^{-7}
38000000\dfrac{3}{8000000}
Respuesta: D
Conceptos:scientific notationdecimal conversionequivalent forms
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Reescribe todas las opciones usando la misma potencia de 1010
Rewrite every choice with the same power of 1010
Pista grande:
El decimal es 3.75×10−73.75\times10^{-7}
The decimal is 3.75×10−73.75\times10^{-7}
Solución:
El decimal dado es 3.75×10−7.3.75\times10^{-7}. Las opciones A y B expresan esto directamente, mientras que 375×10−9=3.75×10−7 375\times10^{-9}=3.75\times10^{-7} y 38×10−6\frac38\times10^{-6} =0.375×10−6=0.375\times10^{-6} =3.75×10−7.=3.75\times10^{-7}. Pero 38×10−7=3.75×10−8, \frac38\times10^{-7}=3.75\times10^{-8}, que es diez veces menor.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The given decimal is 3.75×10−7.3.75\times10^{-7}. Choices A and B state this directly, while 375×10−9=3.75×10−7 375\times10^{-9}=3.75\times10^{-7} and 38×10−6\frac38\times10^{-6} =0.375×10−6=0.375\times10^{-6} =3.75×10−7.=3.75\times10^{-7}. But 38×10−7=3.75×10−8, \frac38\times10^{-7}=3.75\times10^{-8}, which is ten times smaller.
Thus, the correct answer is D.

2.

El ángulo menor entre las manecillas de un reloj a las 12:2512{:}25 p. m. es:
The smaller angle between the hands of a clock at 12:2512{:}25 p.m. is:
132∘30′132^\circ30'
137∘30′137^\circ30'
150∘150^\circ
137∘32′137^\circ32'
137∘137^\circ
Respuesta: B
Conceptos:clock angleangular speeddegrees and minutes
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
En 2525 minutos, el minutero gira 150∘150^\circ
In 2525 minutes, the minute hand moves 150∘150^\circ
Pista grande:
La manecilla de la hora gira 0.5∘0.5^\circ por minuto
The hour hand moves 0.5∘0.5^\circ per minute
Solución:
A las 12:25,12{:}25, el minutero está a 25⋅6∘=150∘25\cdot6^\circ=150^\circ después de las 12,12, mientras que la manecilla de la hora está a 25⋅0.5∘=12.5∘.25\cdot0.5^\circ=12.5^\circ. Su separación menor es 150∘−12.5∘=137.5∘=137∘30′. 150^\circ-12.5^\circ=137.5^\circ=137^\circ30'.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
At 12:25,12{:}25, the minute hand is 25⋅6∘=150∘25\cdot6^\circ=150^\circ past 12,12, while the hour hand is 25⋅0.5∘=12.5∘.25\cdot0.5^\circ=12.5^\circ. Their smaller separation is 150∘−12.5∘=137.5∘=137∘30′. 150^\circ-12.5^\circ=137.5^\circ=137^\circ30'.
Thus, the correct answer is B.

3.

Si cada número de un conjunto de diez números aumenta en 20,20, la media aritmética (promedio) de los diez números originales:
If each number in a set of ten numbers is increased by 20,20, the arithmetic mean (average) of the original ten numbers:
permanece igual
remains the same
aumenta en 2020
is increased by 2020
aumenta en 200200
is increased by 200200
aumenta en 1010
is increased by 1010
aumenta en 22
is increased by 22
Respuesta: B
Conceptos:arithmetic meantranslation of data
Nivel de dificultad: 800
Pista pequeña:
Aumentar las diez cantidades suma 10⋅2010\cdot20 a su total
Increasing all ten entries adds 10⋅2010\cdot20 to their sum
Pista grande:
El nuevo total todavía se divide entre 1010
The new total is still divided by 1010
Solución:
Si la suma original es S,S, la nueva suma es S+10⋅20.S+10\cdot20. Por consiguiente, la nueva media es S+20010=S10+20. \frac{S+200}{10}=\frac S{10}+20. La media aumenta en 20.20.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
If the original sum is S,S, the new sum is S+10⋅20.S+10\cdot20. Hence the new mean is S+20010=S10+20. \frac{S+200}{10}=\frac S{10}+20. The mean is increased by 20.20.
Thus, the correct answer is B.

4.

La igualdad 1x−1=2x−2\dfrac1{x-1}=\dfrac2{x-2} se satisface para:
The equality 1x−1=2x−2\dfrac1{x-1}=\dfrac2{x-2} is satisfied by:
ningún valor real de xx
no real values of xx
x=1x=1 o x=2x=2
either x=1x=1 or x=2x=2
solamente x=1x=1
only x=1x=1
solamente x=2x=2
only x=2x=2
solamente x=0x=0
only x=0x=0
Respuesta: E
Conceptos:ecuación racionaldomain restrictions
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
Multiplica en cruz, recordando que x≠1,2x\ne1,2
Cross-multiply, while remembering that x≠1,2x\ne1,2
Pista grande:
Resuelve x−2=2x−2x-2=2x-2
Solve x−2=2x−2x-2=2x-2
Solución:
Para x≠1,2,x\ne1,2, la multiplicación en cruz da x−2=2(x−1)=2x−2, x-2=2(x-1)=2x-2, de modo que x=0.x=0. Este valor hace que ambos denominadores originales sean distintos de cero y satisface la igualdad.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
For x≠1,2,x\ne1,2, cross-multiplication gives x−2=2(x−1)=2x−2, x-2=2(x-1)=2x-2, so x=0.x=0. This value makes both original denominators nonzero and satisfies the equality.
Thus, the correct answer is E.

5.

yy varía inversamente con el cuadrado de x.x. Cuando y=16,y=16, x=1.x=1. Cuando x=8,x=8, yy es igual a:
yy varies inversely as the square of x.x. When y=16,y=16, x=1.x=1. When x=8,x=8, yy equals:
22
128128
6464
14\dfrac14
10241024
Respuesta: D
Conceptos:inverse variationsquares
Nivel de dificultad: 920
Pista pequeña:
Escribe la variación como y=kx2y=\frac{k}{x^2}
Write the variation as y=kx2y=\frac{k}{x^2}
Pista grande:
Usa el primer par de valores para determinar kk
Use the first pair of values to determine kk
Solución:
La variación inversa con el cuadrado da y=kx2.y=\frac{k}{x^2}. Como 16=k12,16=\frac{k}{1^2}, tenemos k=16.k=16. Para x=8,x=8, y=1682=14. y=\frac{16}{8^2}=\frac14.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Inverse-square variation gives y=kx2.y=\frac{k}{x^2}. Since 16=k12,16=\frac{k}{1^2}, we have k=16.k=16. At x=8,x=8, y=1682=14. y=\frac{16}{8^2}=\frac14.
Thus, the correct answer is D.

6.

Un comerciante compra cierta cantidad de naranjas a razón de 33 por 1010¢ y la misma cantidad a razón de 55 por 2020¢. Para “no ganar ni perder”, debe venderlas todas a razón de:
A merchant buys a number of oranges at 33 for 1010¢ and an equal number at 55 for 2020¢. To “break even” he must sell all at:
88 por 3030¢
88 for 3030¢
33 por 1111¢
33 for 1111¢
55 por 1818¢
55 for 1818¢
1111 por 4040¢
1111 for 4040¢
1313 por 5050¢
1313 for 5050¢
Respuesta: B
Conceptos:unit priceweighted averagebreak-even
Nivel de dificultad: 1210
Pista pequeña:
Usa 1515 naranjas en cada compra de igual tamaño para que ambas tarifas se dividan exactamente
Use 1515 oranges in each equal-sized purchase so that both quoted rates divide evenly
Pista grande:
Compara el costo total de 3030 naranjas con cada precio de venta propuesto
Compare the total cost of 3030 oranges with each proposed selling rate
Solución:
Supongamos que compra 1515 naranjas a cada precio. Las primeras 1515 cuestan 5050¢ y las otras 1515 cuestan 6060¢, para un total de 110110¢. Por tanto, debe vender las 3030 naranjas por 110110¢, lo cual equivale a 33 por 1111¢.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Suppose he buys 1515 oranges at each rate. The first 1515 cost 5050¢ and the second 1515 cost 6060¢, for 110110¢ total. Thus 3030 oranges must sell for 110110¢, which is equivalent to 33 for 1111¢.
Therefore, the correct answer is B.

7.

Si un trabajador sufre una reducción salarial del 2020 por ciento, puede recuperar exactamente su salario original obteniendo un aumento del:
If a worker receives a 2020 percent cut in wages, he may regain his original pay exactly by obtaining a raise of:
2020 por ciento
2020 percent
2525 por ciento
2525 percent
221222\dfrac12 por ciento
221222\dfrac12 percent
$20\$20
$25\$25
Respuesta: B
Conceptos:percentage changereverse percentage
Nivel de dificultad: 920
Pista pequeña:
Después de la reducción, el salario es el 80%80\% del original
After the cut, the wage is 80%80\% of the original
Pista grande:
Halla qué porcentaje del salario reducido representa el 20%20\% faltante del original
Find the percent of the reduced wage represented by the missing 20%20\% of the original
Solución:
Si el salario original es W,W, el salario reducido es 0.8W.0.8W. El aumento necesario es 0.2W,0.2W, que como fracción del salario reducido es 0.2W0.8W=14=25%. \frac{0.2W}{0.8W}=\frac14=25\%.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
If the original wage is W,W, the reduced wage is 0.8W.0.8W. The needed increase is 0.2W,0.2W, which as a fraction of the reduced wage is 0.2W0.8W=14=25%. \frac{0.2W}{0.8W}=\frac14=25\%.
Thus, the correct answer is B.

8.

La gráfica de x2−4y2=0x^2-4y^2=0:
The graph of x2−4y2=0:x^2-4y^2=0:
es una hipérbola que corta solamente al eje xx
is a hyperbola intersecting only the xx-axis
es una hipérbola que corta solamente al eje yy
is a hyperbola intersecting only the yy-axis
es una hipérbola que no corta a ninguno de los ejes
is a hyperbola intersecting neither axis
es un par de rectas
is a pair of straight lines
no existe
does not exist
Respuesta: D
Conceptos:factorizacióndegenerate coniclines
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Factoriza la diferencia de cuadrados
Factor the difference of squares
Pista grande:
Un producto es cero cuando al menos uno de sus dos factores lineales es cero
A product is zero when at least one of its two linear factors is zero
Solución:
Al factorizar, x2−4y2=(x−2y)(x+2y). x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y). Por tanto, la gráfica es la unión de las dos rectas x=2yx=2y y x=−2y.x=-2y.
La respuesta correcta es D.
Factoring, x2−4y2=(x−2y)(x+2y). x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y). Thus the graph is the union of the two straight lines x=2yx=2y and x=−2y.x=-2y.
The correct answer is D.

9.

Un círculo está inscrito en un triángulo cuyos lados miden 8,8, 15,15, y 17.17. El radio del círculo es:
A circle is inscribed in a triangle with sides 8,8, 15,15, and 17.17. The radius of the circle is:
66
22
55
33
77
Respuesta: D
Conceptos:triángulo rectánguloinradiusarea and semiperimeter
Nivel de dificultad: 1210
Pista pequeña:
Las longitudes de los lados forman una terna pitagórica
The side lengths form a Pythagorean triple
Pista grande:
Para un triángulo rectángulo, r=a+b−c2r=\frac{a+b-c}{2}
For a right triangle, r=a+b−c2r=\frac{a+b-c}{2}
Solución:
Como 82+152=172,8^2+15^2=17^2, el triángulo es rectángulo. Su inradio es r=8+15−172=3. r=\frac{8+15-17}{2}=3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Because 82+152=172,8^2+15^2=17^2, the triangle is right. Its inradius is r=8+15−172=3. r=\frac{8+15-17}{2}=3.
Thus, the correct answer is D.

10.

¿Cuántas horas tarda un tren que viaja a una velocidad media de 4040 millas por hora entre paradas en recorrer aa millas si hace nn paradas de mm minutos cada una?
How many hours does it take a train traveling at an average rate of 4040 mph between stops to travel aa miles if it makes nn stops of mm minutes each?
3a+2mn120\dfrac{3a+2mn}{120}
3a+2mn3a+2mn
3a+2mn12\dfrac{3a+2mn}{12}
a+mn40\dfrac{a+mn}{40}
a+40mn40\dfrac{a+40mn}{40}
Respuesta: A
Conceptos:rate-time-distanceconversión de unidadesalgebraic expression
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
El tiempo en movimiento es a40\frac{a}{40} horas
The moving time is a40\frac{a}{40} hours
Pista grande:
Convierte el tiempo total de parada mnmn de minutos a horas antes de sumar
Convert the total stopping time mnmn from minutes to hours before adding
Solución:
El tren está en movimiento durante a40\frac{a}{40} horas y detenido durante mn60\frac{mn}{60} horas. Por tanto, el tiempo total es a40+mn60=3a+2mn120. \frac a{40}+\frac{mn}{60} =\frac{3a+2mn}{120}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The train moves for a40\frac{a}{40} hours and is stopped for mn60\frac{mn}{60} hours. Hence the total time is a40+mn60=3a+2mn120. \frac a{40}+\frac{mn}{60} =\frac{3a+2mn}{120}.
Thus, the correct answer is A.

11.

La negación del enunciado «Ningún alumno de aprendizaje lento asiste a esta escuela» es:
The negation of the statement “No slow learners attend this school,” is:
Todos los alumnos de aprendizaje lento asisten a esta escuela.
All slow learners attend this school.
Todos los alumnos de aprendizaje lento no asisten a esta escuela.
All slow learners do not attend this school.
Algunos alumnos de aprendizaje lento asisten a esta escuela.
Some slow learners attend this school.
Algunos alumnos de aprendizaje lento no asisten a esta escuela.
Some slow learners do not attend this school.
Ningún alumno de aprendizaje lento no asiste a esta escuela.
No slow learners do not attend this school.
Respuesta: C
Conceptos:logicnegationquantifiers
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
«Ningún» significa que no existe ni un solo ejemplo
“No” means that there does not exist even one example
Pista grande:
Negar una exclusión universal afirma que existe un contraejemplo
Negating a universal exclusion asserts the existence of a counterexample
Solución:
El enunciado original dice que todos los alumnos de aprendizaje lento están ausentes de la escuela. Su negación es que al menos uno de ellos asiste a la escuela.
Por lo tanto, «Algunos alumnos de aprendizaje lento asisten a esta escuela» es correcto, así que la respuesta es C.
The original statement says that every slow learner is absent from the school. Its negation is that at least one slow learner attends the school.
Thus, “Some slow learners attend this school” is correct, so the answer is C.

12.

La solución de 5x−1+x−1=2\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2 es:
The solution of 5x−1+x−1=2\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2 is:
x=2,x=2, x=1x=1
x=23x=\dfrac23
x=2x=2
x=1x=1
x=0x=0
Respuesta: D
Conceptos:radical equationdomainextraneous roots
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:
La restricción del dominio real de x−1\sqrt{x-1} da x≥1x\ge1
The real-domain restriction x−1\sqrt{x-1} gives x≥1x\ge1
Pista grande:
Prueba el extremo más sencillo antes de elevar al cuadrado la ecuación
Test the simplest endpoint before squaring the equation
Solución:
El dominio exige x≥1.x\ge1. Para x=1,x=1, el lado izquierdo es 2+0=2,2+0=2, así que x=1x=1 funciona. Para ver que no hay otra solución, observa que ambos radicales son no decrecientes cuando x≥1,x\ge1, y 5x−1\sqrt{5x-1} es estrictamente creciente. Por lo tanto, la suma es mayor que 22 para todo x>1.x>1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The domain requires x≥1.x\ge1. At x=1,x=1, the left side is 2+0=2,2+0=2, so x=1x=1 works. To see that there is no other solution, note that both radicals are nondecreasing for x≥1,x\ge1, and 5x−1\sqrt{5x-1} is strictly increasing. Therefore the sum exceeds 22 for every x>1.x>1.
Thus, the correct answer is D.

13.

La fracción a−4−b−4a−2−b−2\dfrac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}} es igual a:
The fraction a−4−b−4a−2−b−2\dfrac{a^{-4}-b^{-4}}{a^{-2}-b^{-2}} is equal to:
a−6−b−6a^{-6}-b^{-6}
a−2−b−2a^{-2}-b^{-2}
a−2+b−2a^{-2}+b^{-2}
a2+b2a^2+b^2
a2−b2a^2-b^2
Respuesta: C
Conceptos:diferencia de cuadradosnegative exponentsrational expression
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Considera a−4−b−4a^{-4}-b^{-4} como una diferencia de cuadrados
Regard a−4−b−4a^{-4}-b^{-4} as a difference of squares
Pista grande:
Factorízala usando a−2a^{-2} y b−2b^{-2}
Factor it using a−2a^{-2} and b−2b^{-2}
Solución:
Al factorizar el numerador, a−4−b−4=(a−2−b−2)⋅(a−2+b−2). \begin{aligned} a^{-4}-b^{-4} &=(a^{-2}-b^{-2})\\ &\quad\cdot(a^{-2}+b^{-2}). \end{aligned} Donde la fracción original está definida, al cancelar el factor común queda a−2+b−2.a^{-2}+b^{-2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Factoring the numerator, a−4−b−4=(a−2−b−2)⋅(a−2+b−2). \begin{aligned} a^{-4}-b^{-4} &=(a^{-2}-b^{-2})\\ &\quad\cdot(a^{-2}+b^{-2}). \end{aligned} Where the original fraction is defined, canceling the common factor leaves a−2+b−2.a^{-2}+b^{-2}.
Thus, the correct answer is C.

14.

El largo del rectángulo RR es un 1010 por ciento mayor que el lado del cuadrado S.S. El ancho del rectángulo es un 1010 por ciento menor que el lado del cuadrado. La razón de las áreas, R:S,R:S, es:
The length of rectangle RR is 1010 percent more than the side of square S.S. The width of the rectangle is 1010 percent less than the side of the square. The ratio of the areas, R:S,R:S, is:
99:10099:100
101:100101:100
1:11:1
199:200199:200
201:200201:200
Respuesta: A
Conceptos:razón de áreaspercentage changerectángulo
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
Sea ss la longitud del lado del cuadrado
Let the square’s side length be ss
Pista grande:
El área del rectángulo es (1.1s)(0.9s)(1.1s)(0.9s)
The rectangle’s area is (1.1s)(0.9s)(1.1s)(0.9s)
Solución:
Si el lado del cuadrado es s,s, entonces las dimensiones del rectángulo son 1.1s1.1s y 0.9s.0.9s. Por tanto, [R][S]=(1.1s)(0.9s)s2=0.99=99100. \begin{aligned} \frac{[R]}{[S]} &=\frac{(1.1s)(0.9s)}{s^2}\\ &=0.99=\frac{99}{100}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
If the square side is s,s, then the rectangle has dimensions 1.1s1.1s and 0.9s.0.9s. Therefore [R][S]=(1.1s)(0.9s)s2=0.99=99100. \begin{aligned} \frac{[R]}{[S]} &=\frac{(1.1s)(0.9s)}{s^2}\\ &=0.99=\frac{99}{100}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is A.

15.

La razón de las áreas de dos círculos concéntricos es 1:3.1:3. Si el radio del menor es r,r, entonces la diferencia entre los radios se aproxima mejor por:
The ratio of the areas of two concentric circles is 1:3.1:3. If the radius of the smaller is r,r, then the difference between the radii is best approximated by:
0.41r0.41r
0.730.73
0.750.75
0.73r0.73r
0.75r0.75r
Respuesta: D
Conceptos:área del círculoratioapproximation
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Las razones de áreas son los cuadrados de las razones de radios
Area ratios are the squares of radius ratios
Pista grande:
El radio mayor es r3r\sqrt3, así que estima 3−1\sqrt3-1
The larger radius is r3r\sqrt3, so estimate 3−1\sqrt3-1
Solución:
Si el radio mayor es R,R, entonces πr2πR2=13, \frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\frac13, de modo que R=r3.R=r\sqrt3. La diferencia es R−r=(3−1)r≈0.732r. R-r=(\sqrt3-1)r\approx0.732r.
Por lo tanto, la mejor aproximación es 0.73r,0.73r, y la respuesta correcta es D.
If the larger radius is R,R, then πr2πR2=13, \frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\frac13, so R=r3.R=r\sqrt3. The difference is R−r=(3−1)r≈0.732r. R-r=(\sqrt3-1)r\approx0.732r.
Thus, the best approximation is 0.73r,0.73r, and the correct answer is D.

16.

El valor de 3a+b\dfrac3{a+b} cuando a=4a=4 y b=−4b=-4 es:
The value of 3a+b\dfrac3{a+b} when a=4a=4 and b=−4b=-4 is:
33
38\dfrac38
00
cualquier número finito
any finite number
sin sentido
meaningless
Respuesta: E
Conceptos:division by zerorational expressionsustitución
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
Sustituye primero los dos valores dados en el denominador
Substitute the two given values into the denominator first
Pista grande:
Una fracción con denominador 00 no está definida
A fraction with denominator 00 is undefined
Solución:
La sustitución da a+b=4+(−4)=0.a+b=4+(-4)=0. Por tanto, la expresión se convierte en 30,\frac{3}{0}, que no está definida.
Por lo tanto, la expresión no tiene sentido y la respuesta correcta es E.
Substitution gives a+b=4+(−4)=0.a+b=4+(-4)=0. Hence the expression becomes 30,\frac{3}{0}, which is undefined.
Thus, the expression is meaningless and the correct answer is E.

17.

Si log⁡x−5log⁡3=−2,\log x-5\log3=-2, entonces xx es igual a:
If log⁡x−5log⁡3=−2,\log x-5\log3=-2, then xx equals:
1.251.25
0.810.81
2.432.43
0.80.8
0.80.8 o 1.251.25
either 0.80.8 or 1.251.25
Respuesta: C
Conceptos:common logarithmlogarithm lawsexponents
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Pasa 5log⁡35\log3 al otro lado
Move 5log⁡35\log3 to the other side
Pista grande:
Usa −2=log⁡10−2-2=\log10^{-2} y combina los logaritmos
Use −2=log⁡10−2-2=\log10^{-2} and combine logarithms
Solución:
Usando logaritmos comunes, log⁡x=5log⁡3−2=log⁡(35)−log⁡100=log⁡(243100). \begin{aligned} \log x&=5\log3-2\\ &=\log(3^5)-\log100\\ &=\log\left(\frac{243}{100}\right). \end{aligned} Por lo tanto, x=2.43.x=2.43.
La respuesta correcta es C.
Using common logarithms, log⁡x=5log⁡3−2=log⁡(35)−log⁡100=log⁡(243100). \begin{aligned} \log x&=5\log3-2\\ &=\log(3^5)-\log100\\ &=\log\left(\frac{243}{100}\right). \end{aligned} Therefore x=2.43.x=2.43.
The correct answer is C.

18.

El discriminante de la ecuación x2+2x3+3=0x^2+2x\sqrt3+3=0 es cero. Por consiguiente, sus raíces son:
The discriminant of the equation x2+2x3+3=0x^2+2x\sqrt3+3=0 is zero. Hence, its roots are:
reales e iguales
real and equal
racionales e iguales
rational and equal
racionales y desiguales
rational and unequal
irracionales y desiguales
irrational and unequal
imaginarias
imaginary
Respuesta: A
Conceptos:quadratic discriminantrepeated rootreal numbers
Nivel de dificultad: 1150
Pista pequeña:
Usa la fórmula cuadrática con el término del discriminante igual a cero
Use the quadratic formula with the discriminant term equal to zero
Pista grande:
Después clasifica el valor resultante −b2a-\frac{b}{2a} según las opciones dadas
Then inspect the resulting value −b2a-\frac{b}{2a} for the requested classifications
Solución:
La fórmula cuadrática da x=−232=−3 x=\frac{-2\sqrt3}{2}=-\sqrt3 dos veces porque el discriminante es cero. La raíz es irracional, pero la descripción aplicable entre las ofrecidas es «reales e iguales».
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The quadratic formula gives x=−232=−3 x=\frac{-2\sqrt3}{2}=-\sqrt3 twice because the discriminant is zero. The root is irrational, but the requested description that applies is “real and equal.”
Thus, the correct answer is A.

19.

Dos números cuya suma es 66 y el valor absoluto de cuya diferencia es 88 son raíces de la ecuación:
Two numbers whose sum is 66 and the absolute value of whose difference is 88 are roots of the equation:
x2−6x+7=0x^2-6x+7=0
x2−6x−7=0x^2-6x-7=0
x2+6x−8=0x^2+6x-8=0
x2−6x+8=0x^2-6x+8=0
x2+6x−7=0x^2+6x-7=0
Respuesta: B
Conceptos:sum and differenceroots of a quadraticVieta formulas
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Después de elegir un orden, resuelve u+v=6u+v=6 y u−v=8u-v=8
Solve u+v=6u+v=6 and u−v=8u-v=8 after choosing an order
Pista grande:
Un polinomio cuadrático mónico con raíces u,vu,v es x2−(u+v)x+uvx^2-(u+v)x+uv
A monic quadratic with roots u,vu,v is x2−(u+v)x+uvx^2-(u+v)x+uv
Solución:
Tomando primero el número mayor, u+v=6,u−v=8 u+v=6,\qquad u-v=8 da u=7u=7 y v=−1.v=-1. Su producto es −7,-7, así que la ecuación mónica con estas raíces es x2−6x−7=0. x^2-6x-7=0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Taking the larger number first, u+v=6,u−v=8 u+v=6,\qquad u-v=8 gives u=7u=7 and v=−1.v=-1. Their product is −7,-7, so the monic equation with these roots is x2−6x−7=0. x^2-6x-7=0.
Thus, the correct answer is B.

20.

La expresión 25−t2+5\sqrt{25-t^2}+5 es igual a cero para:
The expression 25−t2+5\sqrt{25-t^2}+5 equals zero for:
ningún valor real ni imaginario de tt
no real or imaginary values of tt
ningún valor real de tt solamente
no real values of tt only
ningún valor imaginario de tt solamente
no imaginary values of tt only
t=0t=0
t=±5t=\pm5
Respuesta: A
Conceptos:principal square rootradical equationcomplex numbers
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Aísla el radical antes de hacer cualquier operación algebraica
Isolate the radical before doing any algebra
Pista grande:
Si elevas al cuadrado, comprueba cada candidato en la ecuación original porque el radical tiene un signo establecido
If you square, check every candidate in the original equation because the radical has a prescribed sign
Solución:
Para que la expresión se anule, se necesitaría 25−t2=−5. \sqrt{25-t^2}=-5. El signo radical denota la raíz cuadrada principal. Esta es no negativa para un radicando real no negativo y, sobre los números complejos, se elige con parte real no negativa; por ello no puede ser igual a −5.-5. Elevar al cuadrado introduciría el candidato extraño t=0,t=0, para el cual la expresión original vale 10.10.
Por lo tanto, ningún valor real ni imaginario funciona, y la respuesta correcta es A.
For the expression to vanish, one would need 25−t2=−5. \sqrt{25-t^2}=-5. The radical sign denotes the principal square root. It is nonnegative for a nonnegative real radicand and, over the complex numbers, is chosen with nonnegative real part; it therefore cannot equal −5.-5. Squaring would introduce the extraneous candidate t=0,t=0, for which the original expression is 10.10.
Thus, no real or imaginary value works, and the correct answer is A.

21.

Representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo por cc y el área por A.A. La altura trazada sobre la hipotenusa es:
Represent the hypotenuse of a right triangle by cc and the area by A.A. The altitude on the hypotenuse is:
Ac\dfrac Ac
2Ac\dfrac{2A}{c}
A2c\dfrac A{2c}
A2c\dfrac{A^2}{c}
Ac2\dfrac A{c^2}
Respuesta: B
Conceptos:área del triánguloalturaalgebra
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
Usa la hipotenusa como base del triángulo
Use the hypotenuse as the base of the triangle
Pista grande:
Si la altura correspondiente es h,h, entonces A=ch2A=\frac{ch}{2}
If the corresponding altitude is h,h, then A=ch2A=\frac{ch}{2}
Solución:
Tomando la hipotenusa como base y denotando su altura por h,h, A=12ch. A=\frac12ch. Al despejar se obtiene h=2Ac.h=\frac{2A}{c}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Taking the hypotenuse as the base and writing its altitude as h,h, A=12ch. A=\frac12ch. Solving gives h=2Ac.h=\frac{2A}{c}.
Thus, the correct answer is B.

22.

En un pedido de $10,000\$10{,}000, un comerciante puede elegir entre tres descuentos sucesivos de 20%,20\%, 20%,20\%, y 10%10\%, y tres descuentos sucesivos de 40%,40\%, 5%,5\%, y 5%.5\%. Al elegir la mejor oferta, puede ahorrar:
On a $10,000\$10{,}000 order a merchant has a choice between three successive discounts of 20%,20\%, 20%,20\%, and 10%10\% and three successive discounts of 40%,40\%, 5%,5\%, and 5%.5\%. By choosing the better offer, he can save:
absolutamente nada
nothing at all
$440\$440
$330\$330
$345\$345
$360\$360
Respuesta: D
Conceptos:successive discountspercentage multiplicationcomparison
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:
Los descuentos sucesivos multiplican los factores del precio restante
Successive discounts multiply the remaining-price factors
Pista grande:
Compara 0.8⋅0.8⋅0.90.8\cdot0.8\cdot0.9 con 0.6⋅0.95⋅0.950.6\cdot0.95\cdot0.95
Compare 0.8⋅0.8⋅0.90.8\cdot0.8\cdot0.9 with 0.6⋅0.95⋅0.950.6\cdot0.95\cdot0.95
Solución:
La primera oferta deja una fracción 0.8⋅0.8⋅0.9=0.576 0.8\cdot0.8\cdot0.9=0.576 del precio. La segunda deja 0.6⋅0.952=0.5415. 0.6\cdot0.95^2=0.5415. La segunda cuesta menos por 0.576−0.5415=0.03450.576-0.5415=0.0345 del pedido, es decir, 0.0345(10000)=345 0.0345(10000)=345 dólares.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The first offer leaves a fraction 0.8⋅0.8⋅0.9=0.576 0.8\cdot0.8\cdot0.9=0.576 of the price. The second leaves 0.6⋅0.952=0.5415. 0.6\cdot0.95^2=0.5415. The second is cheaper by 0.576−0.5415=0.03450.576-0.5415=0.0345 of the order, or 0.0345(10000)=345 0.0345(10000)=345 dollars.
Thus, the correct answer is D.

23.

Al revisar la caja chica, un empleado cuenta qq monedas de veinticinco centavos, dd de diez centavos, nn de cinco centavos y cc de un centavo. Más tarde descubre que xx de las monedas de cinco centavos se contaron como monedas de veinticinco, y xx de las monedas de diez centavos se contaron como monedas de un centavo. Para corregir el total obtenido, el empleado debe:
In checking the petty cash a clerk counts qq quarters, dd dimes, nn nickels, and cc cents. Later he discovers that xx of the nickels were counted as quarters and xx of the dimes were counted as cents. To correct the total obtained the clerk must:
no hacer ninguna corrección
make no correction
restar 1111¢
subtract 1111¢
restar 11x11x¢
subtract 11x11x¢
sumar 11x11x¢
add 11x11x¢
sumar xx¢
add xx¢
Respuesta: C
Conceptos:coin valuesaccounting errorlinear expression
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Cada moneda de cinco centavos contada como una de veinticinco hace que el total sea 2020¢ demasiado grande
Each nickel counted as a quarter makes the total too large by 2020¢
Pista grande:
Cada moneda de diez centavos contada como una de un centavo hace que el total sea 99¢ demasiado pequeño
Each dime counted as a cent makes the total too small by 99¢
Solución:
Las xx monedas de cinco centavos contadas como monedas de veinticinco exageran el total en 20x20x¢. Las xx monedas de diez centavos contadas como monedas de un centavo lo reducen en 9x9x¢. El exceso neto es de 20x−9x=11x 20x-9x=11x centavos, por lo que se debe restar esa cantidad.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The xx nickels counted as quarters overstate the total by 20x20x¢. The xx dimes counted as cents understate it by 9x9x¢. The net overstatement is 20x−9x=11x 20x-9x=11x cents, so that amount must be subtracted.
Thus, the correct answer is C.

24.

La función 4x2−12x−14x^2-12x-1:
The function 4x2−12x−1:4x^2-12x-1:
siempre aumenta cuando xx aumenta
always increases as xx increases
siempre disminuye cuando xx disminuye hasta 11
always decreases as xx decreases to 11
no puede ser igual a 00
cannot equal 00
tiene un valor máximo cuando xx es negativo
has a maximum value when xx is negative
tiene un valor mínimo de −10-10
has a minimum value of −10-10
Respuesta: E
Conceptos:quadratic functioncompletar el cuadradominimum
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Completa el cuadrado en 4x2−12x−14x^2-12x-1
Complete the square in 4x2−12x−14x^2-12x-1
Pista grande:
Extrae 44 de los términos cuadrático y lineal antes de formar (x−32)2(x-\frac{3}{2})^2
Factor 44 from the quadratic terms before forming (x−32)2(x-\frac{3}{2})^2
Solución:
Al completar el cuadrado, 4x2−12x−1=4(x−32)2−10. \begin{aligned} 4x^2-12x-1 &=4\left(x-\frac32\right)^2\\ &\quad{}-10. \end{aligned} El término al cuadrado es no negativo, así que el valor mínimo es −10,-10, alcanzado cuando x=32.x=\frac{3}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Completing the square, 4x2−12x−1=4(x−32)2−10. \begin{aligned} 4x^2-12x-1 &=4\left(x-\frac32\right)^2\\ &\quad{}-10. \end{aligned} The squared term is nonnegative, so the minimum value is −10,-10, attained at x=32.x=\frac{3}{2}.
Thus, the correct answer is E.

25.

Uno de los factores de x4+2x2+9x^4+2x^2+9 es:
One of the factors of x4+2x2+9x^4+2x^2+9 is:
x2+3x^2+3
x+1x+1
x2−3x^2-3
x2−2x−3x^2-2x-3
ninguno de estos
none of these
Respuesta: E
Conceptos:polynomial factorizationdiferencia de cuadrados
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Reescribe el polinomio como (x2+3)2−(2x)2(x^2+3)^2-(2x)^2
Rewrite the polynomial as (x2+3)2−(2x)2(x^2+3)^2-(2x)^2
Pista grande:
Factoriza la diferencia de cuadrados resultante y compara ambos factores con las opciones
Factor the resulting difference of squares and compare both factors with the choices
Solución:
Tenemos x4+2x2+9=(x2+3)2−(2x)2=(x2−2x+3)⋅(x2+2x+3). \begin{aligned} x^4+2x^2+9 &=(x^2+3)^2\\ &\quad{}-(2x)^2\\ &=(x^2-2x+3)\\ &\quad\cdot(x^2+2x+3). \end{aligned} Ninguno de los dos factores aparece entre las opciones A a D.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
We have x4+2x2+9=(x2+3)2−(2x)2=(x2−2x+3)⋅(x2+2x+3). \begin{aligned} x^4+2x^2+9 &=(x^2+3)^2\\ &\quad{}-(2x)^2\\ &=(x^2-2x+3)\\ &\quad\cdot(x^2+2x+3). \end{aligned} Neither factor appears among choices A through D.
Thus, the correct answer is E.

26.

El Sr. AA posee una casa que vale $10,000.\$10{,}000. Se la vende al Sr. BB con una ganancia del 10%.10\%. El Sr. BB vuelve a venderle la casa al Sr. AA con una pérdida del 10%.10\%. Entonces:
Mr. AA owns a house worth $10,000.\$10{,}000. He sells it to Mr. BB at 10%10\% profit. Mr. BB sells the house back to Mr. AA at a 10%10\% loss. Then:
el Sr. AA queda a mano
Mr. AA comes out even
el Sr. AA gana $100\$100
Mr. AA makes $100\$100
el Sr. AA gana $1,000\$1{,}000
Mr. AA makes $1,000\$1{,}000
el Sr. BB pierde $100\$100
Mr. BB loses $100\$100
ninguna de las anteriores es correcta
none of the above is correct
Respuesta: E
Conceptos:percentage profit and losssuccessive transactionsnet change
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
El precio de la primera venta es 1.10(10000)1.10(10000)
The first sale price is 1.10(10000)1.10(10000)
Pista grande:
La pérdida del Sr. BB es el 10%10\% de lo que pagó, no el 10%10\% del valor original de la casa
Mr. BB’s loss is 10%10\% of what he paid, not 10%10\% of the original house value
Solución:
El Sr. AA recibe primero 1.10(10000)=110001.10(10000)=11000 dólares. El Sr. BB vende después con una pérdida del 10%10\% de su costo de 1100011000 dólares, así que el Sr. AA recompra la casa por 0.90(11000)=9900 0.90(11000)=9900 dólares. El Sr. AA vuelve a poseer la casa y ha ganado 11000−9900=110011000-9900=1100 dólares; el Sr. BB ha perdido 11001100 dólares. Ninguna de las cantidades indicadas es correcta.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Mr. AA first receives 1.10(10000)=110001.10(10000)=11000 dollars. Mr. BB then sells at a loss of 10%10\% of his 1100011000-dollar cost, so Mr. AA buys the house back for 0.90(11000)=9900 0.90(11000)=9900 dollars. Mr. AA again owns the house and has gained 11000−9900=110011000-9900=1100 dollars; Mr. BB has lost 11001100 dollars. None of the stated amounts is correct.
Thus, the correct answer is E.

27.

Si rr y ss son las raíces de x2−px+q=0,x^2-px+q=0, entonces r2+s2r^2+s^2 es igual a:
If rr and ss are the roots of x2−px+q=0,x^2-px+q=0, then r2+s2r^2+s^2 equals:
p2+2qp^2+2q
p2−2qp^2-2q
p2+q2p^2+q^2
p2−q2p^2-q^2
p2p^2
Respuesta: B
Conceptos:Vieta formulassymmetric expressionsquadratic roots
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Usa r+s=pr+s=p y rs=qrs=q
Use r+s=pr+s=p and rs=qrs=q
Pista grande:
Desarrolla (r+s)2(r+s)^2 y despeja r2+s2r^2+s^2
Expand (r+s)2(r+s)^2 and isolate r2+s2r^2+s^2
Solución:
Por las fórmulas de Vieta, r+s=pr+s=p y rs=q.rs=q. Por lo tanto, r2+s2=(r+s)2−2rs=p2−2q. \begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=p^2-2q. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
By Vieta’s formulas, r+s=pr+s=p and rs=q.rs=q. Therefore r2+s2=(r+s)2−2rs=p2−2q. \begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=p^2-2q. \end{aligned}
Thus, the correct answer is B.

28.

En el mismo sistema de ejes se dibujan la gráfica de y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c y la de la ecuación obtenida al sustituir xx por −x-x en la ecuación dada. Si b≠0b\ne0 y c≠0c\ne0, estas dos gráficas se cortan:
On the same set of axes are drawn the graph of y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c and the graph of the equation obtained by replacing xx by −x-x in the given equation. If b≠0b\ne0 and c≠0c\ne0 these two graphs intersect:
en dos puntos, uno sobre el eje xx y otro sobre el eje yy
in two points, one on the xx-axis and one on the yy-axis
en un punto que no está sobre ninguno de los ejes
in one point located on neither axis
solamente en el origen
only at the origin
en un punto sobre el eje xx
in one point on the xx-axis
en un punto sobre el eje yy
in one point on the yy-axis
Respuesta: E
Conceptos:parabola reflectionsimultaneous equationssimetría
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
La gráfica reflejada es y=ax2−bx+cy=ax^2-bx+c
The reflected graph is y=ax2−bx+cy=ax^2-bx+c
Pista grande:
Iguala las dos expresiones de yy y usa b≠0b\ne0
Set the two expressions for yy equal and use b≠0b\ne0
Solución:
Al sustituir xx por −x-x se obtiene y=ax2−bx+c.y=ax^2-bx+c. En un punto de intersección, ax2+bx+c=ax2−bx+c, ax^2+bx+c=ax^2-bx+c, de modo que 2bx=0.2bx=0. Como b≠0,b\ne0, debe cumplirse x=0,x=0, y entonces y=c≠0.y=c\ne0. Hay exactamente una intersección, (0,c),(0,c), sobre el eje yy.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Replacing xx by −x-x gives y=ax2−bx+c.y=ax^2-bx+c. At an intersection, ax2+bx+c=ax2−bx+c, ax^2+bx+c=ax^2-bx+c, so 2bx=0.2bx=0. Since b≠0,b\ne0, we must have x=0,x=0, and then y=c≠0.y=c\ne0. There is exactly one intersection, (0,c),(0,c), on the yy-axis.
Thus, the correct answer is E.

29.

En la figura, PA‾\overline{PA} es tangente al semicírculo SAR;SAR; PB‾\overline{PB} es tangente al semicírculo RBT;RBT; SRTSRT es una línea recta y los arcos se indican en la figura. La medida del ángulo APBAPB es:
In the figure PA‾\overline{PA} is tangent to semicircle SAR;SAR; PB‾\overline{PB} is tangent to semicircle RBT;RBT; SRTSRT is a straight line; the arcs are indicated in the figure. Angle APBAPB is measured by:
12(a−b)\dfrac12(a-b)
12(a+b)\dfrac12(a+b)
(c−a)−(d−b)(c-a)-(d-b)
a−ba-b
a+ba+b
Respuesta: E
Conceptos:tangent-tangent anglecircle arcsangle measure
Nivel de dificultad: 2310
Pista pequeña:
Traza PR‾\overline{PR}, que es tangente a ambos semicírculos en RR
Draw PR‾\overline{PR}, which is tangent to both semicircles at RR
Pista grande:
Usa el teorema del ángulo entre dos tangentes en cada círculo, y después a+c=b+d=180∘a+c=b+d=180^\circ
Use the tangent-tangent angle theorem on each circle, then use a+c=b+d=180∘a+c=b+d=180^\circ
Solución:
La recta PRPR es tangente a ambos semicírculos en su extremo común R.R. Para el círculo mayor, el teorema del ángulo entre dos tangentes da ∠APR=180∘−a=c. \angle APR=180^\circ-a=c. Para el círculo menor, el mismo teorema da ∠RPB=180∘−b=d. \angle RPB=180^\circ-b=d. Por tanto, el ángulo reflejo de PA‾\overline{PA} a PB‾\overline{PB} que pasa por PR‾\overline{PR} mide c+d.c+d. Así, el otro ángulo entre las tangentes es 360∘−(c+d)=(180∘−c)+(180∘−d)=a+b, \begin{aligned} 360^\circ-(c+d) &=(180^\circ-c)\\ &\quad{}+(180^\circ-d)\\ &=a+b, \end{aligned} porque cada semicírculo superior mide 180∘.180^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The line PRPR is tangent to both semicircles at their common endpoint R.R. For the larger circle, the tangent-tangent angle theorem gives ∠APR=180∘−a=c. \angle APR=180^\circ-a=c. For the smaller circle, the same theorem gives ∠RPB=180∘−b=d. \angle RPB=180^\circ-b=d. Thus the reflex angle from PA‾\overline{PA} to PB‾\overline{PB} through PR‾\overline{PR} has measure c+d.c+d. Hence the other angle between the tangents is 360∘−(c+d)=(180∘−c)+(180∘−d)=a+b, \begin{aligned} 360^\circ-(c+d) &=(180^\circ-c)\\ &\quad{}+(180^\circ-d)\\ &=a+b, \end{aligned} because each upper semicircle has measure 180∘.180^\circ.
Thus, the correct answer is E.

30.

Cada una de las ecuaciones 3x2−2=25,3x^2-2=25, (2x−1)2=(x−1)2,(2x-1)^2=(x-1)^2, x2−7=x−1\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1} tiene:
Each of the equations 3x2−2=25,3x^2-2=25, (2x−1)2=(x−1)2,(2x-1)^2=(x-1)^2, x2−7=x−1\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1} has:
dos raíces enteras
two integral roots
ninguna raíz mayor que 33
no root greater than 33
ninguna raíz igual a cero
no root zero
solamente una raíz
only one root
una raíz negativa y una positiva
one negative root and one positive root
Respuesta: B
Conceptos:equation solvingradical domaincommon property
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:
Resuelve cada ecuación por separado y compara las propiedades de sus raíces
Solve each equation separately and compare the properties of their roots
Pista grande:
Para la ecuación con radicales, descarta los candidatos que hagan negativo cualquiera de los radicandos
For the radical equation, reject candidates that make either radicand negative
Solución:
La primera ecuación da x=±3.x=\pm3. Al factorizar la diferencia de cuadrados en la segunda se obtiene [(2x−1)−(x−1)]⋅[(2x−1)+(x−1)]=x(3x−2)=0, \begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned} de modo que x=0x=0 o 23.\frac{2}{3}. Al elevar al cuadrado la tercera se obtiene x2−x−6=0,x^2-x-6=0, con candidatos 33 y −2;-2; solamente 33 satisface las restricciones del dominio real. Todas las raíces obtenidas son a lo sumo 3.3.
Por lo tanto, ninguna ecuación tiene una raíz mayor que 3,3, y la respuesta correcta es B.
The first equation gives x=±3.x=\pm3. Factoring the difference of squares in the second gives [(2x−1)−(x−1)]⋅[(2x−1)+(x−1)]=x(3x−2)=0, \begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned} so x=0x=0 or 23.\frac{2}{3}. Squaring the third gives x2−x−6=0,x^2-x-6=0, with candidates 33 and −2;-2; only 33 satisfies the real-domain restrictions. Every root obtained is at most 3.3.
Thus, each equation has no root greater than 3,3, and the correct answer is B.

31.

Un triángulo equilátero de lado 22 se divide en un triángulo y un trapecio mediante una recta paralela a uno de sus lados. Si el área del trapecio es igual a la mitad del área del triángulo original, la longitud de la mediana del trapecio es:
An equilateral triangle whose side is 22 is divided into a triangle and a trapezoid by a line drawn parallel to one of its sides. If the area of the trapezoid equals one-half of the area of the original triangle, the length of the median of the trapezoid is:
62\dfrac{\sqrt6}{2}
2\sqrt2
2+22+\sqrt2
2+22\dfrac{2+\sqrt2}{2}
23−62\dfrac{2\sqrt3-\sqrt6}{2}
Respuesta: D
Conceptos:similar trianglestrapezoid midsegmentrazón de áreas
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
El triángulo pequeño tiene la mitad del área original; determina su lado usando semejanza
The small triangle has half the original area, so determine its side using similarity
Pista grande:
La mediana del trapecio es el promedio de las longitudes de sus dos lados paralelos
The trapezoid median is the average of its two parallel side lengths
Solución:
El triángulo pequeño también tiene la mitad del área original. Si su lado paralelo a la base original tiene longitud b,b, la semejanza da (b2)2=12, \left(\frac b2\right)^2=\frac12, de modo que b=2.b=\sqrt2. Los lados paralelos del trapecio miden 22 y 2,\sqrt2, así que su mediana mide 2+22. \frac{2+\sqrt2}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The small triangle also has half the original area. If its side parallel to the original base has length b,b, similarity gives (b2)2=12, \left(\frac b2\right)^2=\frac12, so b=2.b=\sqrt2. The parallel sides of the trapezoid have lengths 22 and 2,\sqrt2, so its median has length 2+22. \frac{2+\sqrt2}{2}.
Thus, the correct answer is D.

32.

Si el discriminante de ax2+2bx+c=0ax^2+2bx+c=0 es cero, entonces otra afirmación verdadera sobre a,a, b,b, y cc es que:
If the discriminant of ax2+2bx+c=0ax^2+2bx+c=0 is zero, then another true statement about a,a, b,b, and cc is that:
forman una progresión aritmética
they form an arithmetic progression
forman una progresión geométrica
they form a geometric progression
son desiguales
they are unequal
son todos números negativos
they are all negative numbers
solamente bb es negativo y aa y cc son positivos
only bb is negative and aa and cc are positive
Respuesta: B
Conceptos:quadratic discriminantgeometric progression
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Iguala (2b)2−4ac(2b)^2-4ac a cero
Set (2b)2−4ac(2b)^2-4ac equal to zero
Pista grande:
Compara la relación resultante con los criterios que definen las progresiones aritméticas y geométricas
Compare the resulting relation with the defining tests for arithmetic and geometric progressions
Solución:
Un discriminante cero da (2b)2−4ac=0, (2b)^2-4ac=0, y por tanto b2=ac.b^2=ac. Equivalentemente, ab=bc\frac{a}{b}=\frac{b}{c} donde las razones están definidas, que es la relación que caracteriza a a,b,ca,b,c como una progresión geométrica.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
A zero discriminant gives (2b)2−4ac=0, (2b)^2-4ac=0, hence b2=ac.b^2=ac. Equivalently, ab=bc\frac{a}{b}=\frac{b}{c} where the ratios are defined, which is the defining relation for a,b,ca,b,c to form a geometric progression.
Thus, the correct answer is B.

33.

Henry inicia un viaje cuando las manecillas del reloj coinciden entre las 88 a. m. y las 99 a. m. Llega a su destino entre las 22 p. m. y las 33 p. m., cuando las manecillas están separadas exactamente 180∘.180^\circ. El viaje dura:
Henry starts a trip when the hands of the clock are together between 88 a.m. and 99 a.m. He arrives at his destination between 22 p.m. and 33 p.m. when the hands of the clock are exactly 180∘180^\circ apart. The trip takes:
66 h
66 hr.
66 h 4371143\dfrac7{11} min
66 hr. 4371143\dfrac7{11} min.
55 h 1641116\dfrac4{11} min
55 hr. 1641116\dfrac4{11} min.
66 h 3030 min
66 hr. 3030 min.
ninguna de estas
none of these
Respuesta: A
Conceptos:clock handsangular speedelapsed time
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Al inicio, el minutero debe cerrar una brecha de 240∘240^\circ a razón de 5.5∘5.5^\circ por minuto
At the start, the minute hand must close a 240∘240^\circ gap at 5.5∘5.5^\circ per minute
Pista grande:
Calcula el instante correspondiente después de las 2:002{:}00 cuando las manecillas están opuestas y compara los dos desfases
Compute the corresponding time after 2:002{:}00 when the hands are opposite and compare the two offsets
Solución:
A las 8:00,8{:}00, la manecilla de la hora lleva 240∘240^\circ de ventaja. El minutero gana 5.5∘5.5^\circ por minuto, de modo que las manecillas coinciden 2405.5=48011\frac{240}{5.5}=\frac{480}{11} minutos después de las 8.8. A las 2:00,2{:}00, la manecilla de la hora lleva 60∘60^\circ de ventaja. Para que las manecillas estén separadas 180∘180^\circ en el sentido pertinente, el minutero debe ganar 240∘,240^\circ, lo que vuelve a tomar 48011\frac{480}{11} minutos. Por tanto, el inicio y el final tienen el mismo desfase de minutos dentro de sus respectivas horas y están separados exactamente seis horas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
At 8:00,8{:}00, the hour hand is 240∘240^\circ ahead. The minute hand gains at 5.5∘5.5^\circ per minute, so the hands coincide 2405.5=48011\frac{240}{5.5}=\frac{480}{11} minutes after 8.8. At 2:00,2{:}00, the hour hand is 60∘60^\circ ahead. For the hands to be 180∘180^\circ apart in the relevant direction, the minute hand must gain 240∘,240^\circ, again taking 48011\frac{480}{11} minutes. The start and finish therefore have the same minute offset within their hours, exactly six hours apart.
Thus, the correct answer is A.

34.

Un poste de 66 pulgadas de diámetro y otro de 1818 pulgadas de diámetro se colocan juntos y se atan con alambre. La longitud del alambre más corto que puede rodearlos es:
A 66-inch-diameter pole and an 1818-inch-diameter pole are placed together and bound together with wire. The length of the shortest wire that will go around them is:
123+16π12\sqrt3+16\pi
123+7π12\sqrt3+7\pi
123+14π12\sqrt3+14\pi
12+15π12+15\pi
24π24\pi
Respuesta: C
Conceptos:common external tangentscircle arcsperímetro
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
El alambre consta de dos segmentos tangentes exteriores comunes y un arco expuesto de cada círculo
The wire consists of two common external tangent segments and one exposed arc on each circle
Pista grande:
Usa radios 33 y 99; cada segmento tangente mide 122−62\sqrt{12^2-6^2}
Use radii 33 and 99; each tangent segment has length 122−62\sqrt{12^2-6^2}
Solución:
Los centros están separados 1212 pulgadas y sus radios difieren en 6.6. Por tanto, cada segmento tangente exterior común mide 122−62=63, \sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3, para un total de 12312\sqrt3. La geometría de las rectas tangentes deja un arco expuesto de 120∘120^\circ en el círculo de radio 33 y uno de 240∘240^\circ en el círculo de radio 99. Sus longitudes suman 120360(2π⋅3)+240360(2π⋅9)=2π+12π=14π. \begin{aligned} &\frac{120}{360}(2\pi\cdot3)\\ &\quad{}+\frac{240}{360}(2\pi\cdot9)\\ &\qquad=2\pi+12\pi\\ &\qquad=14\pi. \end{aligned} Por lo tanto, la longitud del alambre es 123+14π.12\sqrt3+14\pi.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The centers are 1212 inches apart and their radii differ by 6.6. Thus each common external tangent segment has length 122−62=63, \sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3, contributing 12312\sqrt3 in all. The geometry of the tangent lines leaves a 120∘120^\circ exposed arc on the radius-33 circle and a 240∘240^\circ exposed arc on the radius-99 circle. Their lengths total 120360(2π⋅3)+240360(2π⋅9)=2π+12π=14π. \begin{aligned} &\frac{120}{360}(2\pi\cdot3)\\ &\quad{}+\frac{240}{360}(2\pi\cdot9)\\ &\qquad=2\pi+12\pi\\ &\qquad=14\pi. \end{aligned} Hence the wire length is 123+14π.12\sqrt3+14\pi.
Thus, the correct answer is C.

35.

Tres muchachos acuerdan repartirse una bolsa de canicas de la siguiente manera. El primero toma una canica más que la mitad. El segundo toma un tercio de las que quedan. El tercero descubre que le quedan el doble de canicas que al segundo. El número original de canicas:
Three boys agree to divide a bag of marbles in the following manner. The first boy takes one more than half the marbles. The second takes a third of the number remaining. The third boy finds that he is left with twice as many marbles as the second boy. The original number of marbles:
no es ninguno de los siguientes
is none of the following
no puede determinarse con los datos dados
cannot be determined from the given data
es 2020 o 2626
is 2020 or 2626
es 1414 o 3232
is 1414 or 3232
es 88 o 3838
is 88 or 3838
Respuesta: B
Conceptos:fractions of a remainderinteger constraintsunderdetermined problem
Nivel de dificultad: 1490
Pista pequeña:
Sea nn el número original y expresa lo que queda después del primer muchacho
Let the original number be nn and express the remainder after the first boy
Pista grande:
Traduce la condición sobre las porciones de los dos últimos muchachos a una ecuación y comprueba si determina nn de manera única
Translate the last two boys’ share condition into an equation and see whether it determines nn uniquely
Solución:
El primero toma n2+1,\frac{n}{2}+1, y deja n2−1.\frac{n}{2}-1. El segundo toma un tercio de ese resto y el tercero recibe los otros dos tercios, automáticamente el doble de la porción del segundo. Por tanto, la condición del reparto no impone un valor único de n.n. Solamente exige que n2−1\frac{n}{2}-1 sea un múltiplo no negativo de 3,3, por lo que sirven muchos valores, como 8,14,20,26,…8,14,20,26,\ldots.
Por lo tanto, el número original no puede determinarse y la respuesta correcta es B.
The first boy takes n2+1,\frac{n}{2}+1, leaving n2−1.\frac{n}{2}-1. The second takes one third of that remainder, and the third receives the other two thirds, automatically twice the second boy’s share. Thus the share condition imposes no unique value of n.n. It only requires n2−1\frac{n}{2}-1 to be a nonnegative multiple of 3,3, so many values such as 8,14,20,26,…8,14,20,26,\ldots work.
Therefore the original number cannot be determined, and the correct answer is B.

36.

Un tanque cilíndrico de petróleo, colocado horizontalmente, tiene una longitud interior de 1010 pies y un diámetro interior de 66 pies. Si la superficie rectangular del petróleo tiene un área de 4040 pies cuadrados, la profundidad del petróleo es:
A cylindrical oil tank, lying horizontally, has an interior length of 1010 feet and an interior diameter of 66 feet. If the rectangular surface of the oil has an area of 4040 square feet, the depth of the oil is:
5\sqrt5
252\sqrt5
3−53-\sqrt5
3+53+\sqrt5
3−53-\sqrt5 o 3+53+\sqrt5
either 3−53-\sqrt5 or 3+53+\sqrt5
Respuesta: E
Conceptos:circle chordhorizontal cylinderPythagorean theorem
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
La superficie del petróleo es un rectángulo de longitud 1010, así que su ancho es 44
The oil surface is a rectangle of length 1010, so its width is 44
Pista grande:
En el extremo circular, una cuerda de longitud 44 está a 32−22\sqrt{3^2-2^2} del centro
In the circular end, a chord of length 44 lies 32−22\sqrt{3^2-2^2} from the center
Solución:
La superficie rectangular tiene longitud 10,10, así que su ancho, que es una cuerda de la sección circular, es 4010=4.\frac{40}{10}=4. La semicuerda mide 2,2, y el radio es 3,3, de modo que la distancia del centro a la cuerda es 32−22=5. \sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5. Una cuerda de esta longitud puede estar por debajo o por encima del centro. Medidas desde el fondo del tanque, las profundidades correspondientes son 3−53-\sqrt5 y 3+5.3+\sqrt5.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The rectangular surface has length 10,10, so its chord width in the circular cross-section is 4010=4.\frac{40}{10}=4. Half the chord is 2,2, and the radius is 3,3, so the distance from the center to the chord is 32−22=5. \sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5. A chord of this length can lie either below or above the center. Measured from the bottom of the tank, the corresponding depths are 3−53-\sqrt5 and 3+5.3+\sqrt5.
Thus, the correct answer is E.

37.

Un número de tres cifras tiene, de izquierda a derecha, las cifras h,h, t,t, y uu, con h>u.h>u. Cuando el número con las cifras invertidas se resta del número original, la cifra de las unidades de la diferencia es 4.4. Las dos cifras siguientes, de derecha a izquierda, son:
A three-digit number has, from left to right, the digits h,h, t,t, and uu with h>u.h>u. When the number with the digits reversed is subtracted from the original number, the units’ digit in the difference is 4.4. The next two digits, from right to left, are:
55 y 99
55 and 99
99 y 55
99 and 55
imposible de determinar
impossible to tell
55 y 44
55 and 44
44 y 55
44 and 55
Respuesta: B
Conceptos:digit reversalaritmética modularsubtraction
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:
Resta algebraicamente: (100h+10t+u)(100h+10t+u) −(100u+10t+h)=99(h−u){}-(100u+10t+h)=99(h-u)
Subtract algebraically: (100h+10t+u)(100h+10t+u) −(100u+10t+h)=99(h−u){}-(100u+10t+h)=99(h-u)
Pista grande:
Halla la diferencia de cifras h−uh-u para la cual 99(h−u)99(h-u) termina en 44
Find the digit h−uh-u for which 99(h−u)99(h-u) ends in 44
Solución:
La diferencia es 99(h−u).99(h-u). Como h−uh-u es un entero del 11 al 9,9, y la cifra de las unidades es 4,4, necesitamos 9(h−u)≡4(mod10).9(h-u)\equiv4\pmod{10}. Esto da h−u=6,h-u=6, de modo que la diferencia es 99⋅6=594. 99\cdot6=594. Avanzando de derecha a izquierda después de la cifra de las unidades 4,4, las cifras siguientes son 99 y 5.5.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The difference is 99(h−u).99(h-u). Since h−uh-u is an integer from 11 through 9,9, and the units digit is 4,4, we need 9(h−u)≡4(mod10).9(h-u)\equiv4\pmod{10}. This gives h−u=6,h-u=6, so the difference is 99⋅6=594. 99\cdot6=594. Moving from right to left after the units digit 4,4, the next digits are 99 and 5.5.
Thus, the correct answer is B.

38.

Se dan cuatro enteros positivos. Elige tres cualesquiera, calcula su promedio aritmético y suma este resultado al cuarto entero. Así se obtienen los números 29,29, 23,23, 2121 y 1717. Uno de los enteros originales es:
Four positive integers are given. Select any three of these integers, find their arithmetic average, and add this result to the fourth integer. Thus the numbers 29,29, 23,23, 2121 and 1717 are obtained. One of the original integers is:
1919
2121
2323
2929
1717
Respuesta: B
Conceptos:linear systemaveragessum invariant
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:
Si la suma original es SS y el entero separado es x,x, el resultado es S+2x3\frac{S+2x}{3}
If the original sum is SS and the singled-out integer is x,x, the result is S+2x3\frac{S+2x}{3}
Pista grande:
Suma los cuatro resultados dados para determinar SS
Sum all four reported results to determine SS
Solución:
Si los enteros originales suman S,S, el resultado asociado al entero separado xx es x+S−x3=S+2x3. x+\frac{S-x}{3}=\frac{S+2x}{3}. Al sumar los cuatro resultados dados se cuenta el total como 2S,2S, así que S=29+23+21+172=45. S=\frac{29+23+21+17}{2}=45. Por tanto, el resultado 2929 proviene de x=3(29)−452=21.x=\dfrac{3(29)-45}{2}=21.
Por lo tanto, uno de los enteros originales es 21,21, y la respuesta correcta es B.
If the original integers sum to S,S, the result associated with singled-out integer xx is x+S−x3=S+2x3. x+\frac{S-x}{3}=\frac{S+2x}{3}. Summing all four reported results counts the total as 2S,2S, so S=29+23+21+172=45. S=\frac{29+23+21+17}{2}=45. The result 2929 therefore comes from x=3(29)−452=21.x=\dfrac{3(29)-45}{2}=21.
Thus, one original integer is 21,21, and the correct answer is B.

39.

Si y=x2+px+q,y=x^2+px+q, y el menor valor posible de yy es cero, entonces qq es igual a:
If y=x2+px+q,y=x^2+px+q, then if the least possible value of yy is zero, qq is equal to:
00
p24\dfrac{p^2}{4}
p2\dfrac p2
−p2-\dfrac p2
p24−q\dfrac{p^2}{4}-q
Respuesta: B
Conceptos:quadratic minimumcompletar el cuadradovertex
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Completa el cuadrado en x2+px+qx^2+px+q
Complete the square in x2+px+qx^2+px+q
Pista grande:
El mínimo ocurre cuando x=−p2x=-\frac{p}{2}
The minimum occurs when x=−p2x=-\frac{p}{2}
Solución:
Al completar el cuadrado, y=(x+p2)2+q−p24. y=\left(x+\frac p2\right)^2+q-\frac{p^2}{4}. Su menor valor es q−p24.q-\frac{p^2}{4}. Al igualarlo a cero se obtiene q=p24.q=\frac{p^2}{4}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Completing the square, y=(x+p2)2+q−p24. y=\left(x+\frac p2\right)^2+q-\frac{p^2}{4}. Its least value is q−p24.q-\frac{p^2}{4}. Setting this equal to zero gives q=p24.q=\frac{p^2}{4}.
Thus, the correct answer is B.

40.

Si b≠d,b\ne d, las fracciones ax+bcx+d\dfrac{ax+b}{cx+d} y bd\dfrac bd son desiguales si:
If b≠d,b\ne d, the fractions ax+bcx+d\dfrac{ax+b}{cx+d} and bd\dfrac bd are unequal if:
a=c=1a=c=1 y x≠0x\ne0
a=c=1a=c=1 and x≠0x\ne0
a=b=0a=b=0
a=c=0a=c=0
x=0x=0
ad=bcad=bc
Respuesta: A
Conceptos:rational expressionscross multiplicationinequalities
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Multiplica en cruz la igualdad ax+bcx+d=bd\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}
Cross-multiply the equality ax+bcx+d=bd\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}
Pista grande:
Después de simplificar, la igualdad queda determinada por x(ad−bc)=0x(ad-bc)=0
After cancellation, equality is governed by x(ad−bc)=0x(ad-bc)=0
Solución:
Donde las fracciones están definidas, la igualdad exigiría d(ax+b)=b(cx+d), d(ax+b)=b(cx+d), que se simplifica a x(ad−bc)=0.x(ad-bc)=0. En la opción A, a=c=1a=c=1 da ad−bc=d−b≠0,ad-bc=d-b\ne0, y x≠0,x\ne0, por lo que la igualdad es imposible. Cada una de las opciones B a E, en cambio, fuerza directamente la igualdad.
Por lo tanto, las fracciones son desiguales bajo la condición de la opción A.
Where the fractions are defined, equality would require d(ax+b)=b(cx+d), d(ax+b)=b(cx+d), which simplifies to x(ad−bc)=0.x(ad-bc)=0. Under choice A, a=c=1a=c=1 gives ad−bc=d−b≠0,ad-bc=d-b\ne0, and x≠0,x\ne0, so equality is impossible. Each of B through E instead forces equality directly.
Thus, the fractions are unequal under choice A.

41.

Un tren que viaja de Aytown a Beetown sufre un accidente después de 11 h. Permanece detenido durante 12\dfrac12 h, tras lo cual continúa a cuatro quintos de su velocidad habitual y llega a Beetown con 22 h de retraso. Si el tren hubiera recorrido 8080 millas más antes del accidente, habría llegado solamente 11 h tarde. La velocidad habitual del tren es:
A train traveling from Aytown to Beetown meets with an accident after 11 hr. It is stopped for 12\dfrac12 hr., after which it proceeds at four-fifths of its usual rate, arriving at Beetown 22 hr. late. If the train had covered 8080 miles more before the accident, it would have been just 11 hr. late. The usual rate of the train is:
2020 millas por hora
2020 mph
3030 millas por hora
3030 mph
4040 millas por hora
4040 mph
5050 millas por hora
5050 mph
6060 millas por hora
6060 mph
Respuesta: A
Conceptos:rate-time-distancedelaysimultaneous conditions
Nivel de dificultad: 2310
Pista pequeña:
Viajar a 45\frac{4}{5} de la velocidad añade una cuarta parte del tiempo normal para la distancia afectada
Traveling at 45\frac{4}{5} speed adds one-fourth of the normal time for the affected distance
Pista grande:
Compara los dos retrasos; desplazar el punto del accidente 8080 millas cambia el retraso en 11 hora
Compare the two delays; moving the accident point 8080 miles changes the delay by 11 hour
Solución:
Sea RR la velocidad habitual en millas por hora y DD la distancia total. Después de la primera hora, el tiempo normal para la distancia restante es DR−1.\frac{D}{R}-1. Recorrerla a 4R5\frac{4R}{5} añade una cuarta parte de ese tiempo, así que 12+14(DR−1)=2. \frac12+\frac14\left(\frac DR-1\right)=2. Si el accidente ocurre 8080 millas más tarde, 12+14(DR−1−80R)=1. \frac12+\frac14\left(\frac DR-1-\frac{80}{R}\right)=1. Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene 20R=1,\frac{20}{R}=1, y por tanto R=20R=20 millas por hora.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let the usual rate be RR mph and the total distance be D.D. After the first hour, the normal time for the remaining distance is DR−1.\frac{D}{R}-1. Traveling it at 4R5\frac{4R}{5} adds one-fourth of that time, so 12+14(DR−1)=2. \frac12+\frac14\left(\frac DR-1\right)=2. If the accident occurs 8080 miles later, 12+14(DR−1−80R)=1. \frac12+\frac14\left(\frac DR-1-\frac{80}{R}\right)=1. Subtracting the second equation from the first gives 20R=1,\frac{20}{R}=1, hence R=20R=20 mph.
Thus, the correct answer is A.

42.

Si a,a, b,b, y cc son enteros positivos, los radicales a+bc\sqrt{a+\dfrac bc} y abca\sqrt{\dfrac bc} son iguales si y solo si:
If a,a, b,b, and cc are positive integers, the radicals a+bc\sqrt{a+\dfrac bc} and abca\sqrt{\dfrac bc} are equal when and only when:
a=b=c=1a=b=c=1
a=ba=b y c=a=1c=a=1
a=ba=b and c=a=1c=a=1
c=b(a2−1)ac=\dfrac{b(a^2-1)}a
a=ba=b y cc tiene cualquier valor
a=ba=b and cc is any value
a=ba=b y c=a−1c=a-1
a=ba=b and c=a−1c=a-1
Respuesta: C
Conceptos:radical equationalgebraic equivalencepositive quantities
Nivel de dificultad: 1550
Pista pequeña:
Ambos lados son positivos, así que eleva al cuadrado la igualdad
Both sides are positive, so square the equality
Pista grande:
Multiplica la ecuación resultante por cc y despeja cc
Multiply the resulting equation by cc and isolate cc
Solución:
Como todas las cantidades son positivas, elevar al cuadrado es reversible: a+bc=a2bc. a+\frac bc=a^2\frac bc. Al multiplicar por cc se obtiene ac+b=a2b,ac+b=a^2b, de modo que c=b(a2−1)a. c=\frac{b(a^2-1)}a.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Because all quantities are positive, squaring is reversible: a+bc=a2bc. a+\frac bc=a^2\frac bc. Multiplying by cc gives ac+b=a2b,ac+b=a^2b, so c=b(a2−1)a. c=\frac{b(a^2-1)}a.
Thus, the correct answer is C.

43.

Los pares de valores de xx y yy que son soluciones comunes de las ecuaciones y=(x+1)2y=(x+1)^2 y xy+y=1xy+y=1 son:
The pairs of values of xx and yy that are the common solutions of the equations y=(x+1)2y=(x+1)^2 and xy+y=1xy+y=1 are:
33 pares reales
33 real pairs
44 pares reales
44 real pairs
44 pares imaginarios
44 imaginary pairs
22 pares reales y 22 pares imaginarios
22 real and 22 imaginary pairs
11 par real y 22 pares imaginarios
11 real and 22 imaginary pairs
Respuesta: E
Conceptos:simultaneous equationscube roots of unitycomplex solutions
Nivel de dificultad: 1720
Pista pequeña:
Reescribe la segunda ecuación como y(x+1)=1y(x+1)=1
Rewrite the second equation as y(x+1)=1y(x+1)=1
Pista grande:
Sustituye y=(x+1)2y=(x+1)^2 para obtener una cúbica en x+1x+1
Substitute y=(x+1)2y=(x+1)^2 to obtain a cubic in x+1x+1
Solución:
La sustitución en y(x+1)=1y(x+1)=1 da (x+1)3=1. (x+1)^3=1. Las tres raíces cúbicas de 11 constan de una raíz real y dos no reales. Cada una determina exactamente un valor correspondiente y=(x+1)2.y=(x+1)^2. Por lo tanto, hay un par real y dos pares imaginarios.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Substitution into y(x+1)=1y(x+1)=1 gives (x+1)3=1. (x+1)^3=1. The three cube roots of 11 consist of one real root and two nonreal roots. Each determines exactly one corresponding value y=(x+1)2.y=(x+1)^2. Therefore there is one real pair and two imaginary pairs.
Thus, the correct answer is E.

44.

En el círculo OO, la cuerda AB‾\overline{AB} se prolonga de modo que BC‾\overline{BC} sea igual a un radio del círculo. Se traza CO‾\overline{CO} y se prolonga hasta D.D. Se traza AO‾\overline{AO}. ¿Cuál de las siguientes opciones expresa la relación entre los ángulos xx y yy?
In circle OO chord AB‾\overline{AB} is produced so that BC‾\overline{BC} equals a radius of the circle. CO‾\overline{CO} is drawn and extended to D.D. AO‾\overline{AO} is drawn. Which of the following expresses the relationship between angles xx and y?y?
x=3yx=3y
x=2yx=2y
x=60∘x=60^\circ
no hay ninguna relación especial entre xx y yy
there is no special relationship between xx and yy
x=2yx=2y o x=3y,x=3y, según la longitud de AB‾\overline{AB}
x=2yx=2y or x=3y,x=3y, depending upon the length of AB‾\overline{AB}
Respuesta: A
Conceptos:isosceles trianglesexterior anglecircle geometry
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Como OB=BC,OB=BC, el triángulo OBCOBC es isósceles
Since OB=BC,OB=BC, triangle OBCOBC is isosceles
Pista grande:
Usa el ángulo exterior en BB y después OA=OBOA=OB
Use the exterior angle at BB, then use OA=OBOA=OB
Solución:
Como OB=BC,OB=BC, el triángulo OBCOBC es isósceles, de modo que ∠BOC=∠BCO=y.\angle BOC=\angle BCO=y. Por tanto, su ángulo exterior en BB es ∠ABO=2y.\angle ABO=2y. Como OA=OB,OA=OB, el triángulo AOBAOB también es isósceles y ∠OAB=2y.\angle OAB=2y. En el triángulo AOC,AOC, los ángulos en AA y CC son 2y2y y y,y, así que ∠AOC=180∘−3y.\angle AOC=180^\circ-3y. El ángulo x=∠AODx=\angle AOD es suplementario de ∠AOC,\angle AOC, y por ello x=3y.x=3y.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Because OB=BC,OB=BC, triangle OBCOBC is isosceles, so ∠BOC=∠BCO=y.\angle BOC=\angle BCO=y. Its exterior angle at BB is therefore ∠ABO=2y.\angle ABO=2y. Since OA=OB,OA=OB, triangle AOBAOB is also isosceles and ∠OAB=2y.\angle OAB=2y. In triangle AOC,AOC, the angles at AA and CC are 2y2y and y,y, so ∠AOC=180∘−3y.\angle AOC=180^\circ-3y. Angle x=∠AODx=\angle AOD is supplementary to ∠AOC,\angle AOC, hence x=3y.x=3y.
Thus, the correct answer is A.

45.

Se dan una sucesión geométrica cuyo primer término es ≠0\ne0 y con r≠0r\ne0, y una sucesión aritmética cuyo primer término es =0.=0. Se forma una tercera sucesión 1,1, 1,1, 2,2, …\ldots sumando los términos correspondientes de las dos sucesiones dadas. La suma de los primeros diez términos de la tercera sucesión es:
Given a geometric sequence with the first term ≠0\ne0 and r≠0r\ne0 and an arithmetic sequence with the first term =0.=0. A third sequence 1,1, 1,1, 2,2, …\ldots is formed by adding corresponding terms of the two given sequences. The sum of the first ten terms of the third sequence is:
978978
557557
467467
10681068
no puede determinarse con la información dada
not possible to determine from the information given
Respuesta: A
Conceptos:sucesión geométricasucesión aritméticasystems of equations
Nivel de dificultad: 1930
Pista pequeña:
Escribe las dos sucesiones como a,ar,ar2,…a,ar,ar^2,\ldots y 0,d,2d,…0,d,2d,\ldots
Write the two sequences as a,ar,ar2,…a,ar,ar^2,\ldots and 0,d,2d,…0,d,2d,\ldots
Pista grande:
Usa las tres primeras sumas y la condición r≠0r\ne0 para determinar a,r,da,r,d
Use the first three sums and the condition r≠0r\ne0 to determine a,r,da,r,d
Solución:
Las tres primeras sumas término a término dan a=1,r+d=1,r2+2d=2. \begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned} Al sustituir d=1−rd=1-r se obtiene r(r−2)=0.r(r-2)=0. Como r≠0,r\ne0, tenemos r=2r=2 y d=−1.d=-1. Los primeros diez términos geométricos suman 210−1=1023,2^{10}-1=1023, mientras que los primeros diez términos aritméticos suman 0−1−⋯−9=−45.0-1-\cdots-9=-45. Su suma combinada es 1023−45=978.1023-45=978.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The first three termwise sums give a=1,r+d=1,r2+2d=2. \begin{aligned} a&=1,\\ r+d&=1,\\ r^2+2d&=2. \end{aligned} Substituting d=1−rd=1-r yields r(r−2)=0.r(r-2)=0. Since r≠0,r\ne0, we have r=2r=2 and d=−1.d=-1. The first ten geometric terms sum to 210−1=1023,2^{10}-1=1023, while the first ten arithmetic terms sum to 0−1−⋯−9=−45.0-1-\cdots-9=-45. Their combined sum is 1023−45=978.1023-45=978.
Thus, the correct answer is A.

46.

Las gráficas de 2x+3y−6=0,2x+3y-6=0, 4x−3y−6=0,4x-3y-6=0, x=2,x=2, y y=23y=\dfrac23 se cortan en:
The graphs of 2x+3y−6=0,2x+3y-6=0, 4x−3y−6=0,4x-3y-6=0, x=2,x=2, and y=23y=\dfrac23 intersect in:
66 puntos
66 points
11 punto
11 point
22 puntos
22 points
ningún punto
no points
un número ilimitado de puntos
an unlimited number of points
Respuesta: B
Conceptos:linear equationscommon intersectiongeometría analítica
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Resuelve simultáneamente las dos primeras ecuaciones lineales
Solve the first two linear equations simultaneously
Pista grande:
Comprueba si esa solución también satisface cada una de las dos últimas ecuaciones
Check whether that solution also satisfies each of the last two displayed equations
Solución:
Al sumar las dos primeras ecuaciones se obtiene 6x−12=0,6x-12=0, de modo que x=2.x=2. La sustitución da 3y=2,3y=2, y por tanto y=23.y=\frac{2}{3}. Este punto también está sobre las dos últimas rectas dadas. Por lo tanto, las cuatro gráficas tienen el único punto común (2,23).(2,\frac{2}{3}).
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Adding the first two equations gives 6x−12=0,6x-12=0, so x=2.x=2. Substitution gives 3y=2,3y=2, hence y=23.y=\frac{2}{3}. This point also lies on the last two given lines. Therefore all four graphs have the single common point (2,23).(2,\frac{2}{3}).
Thus, the correct answer is B.

47.

Las expresiones a+bca+bc y (a+b)(a+c)(a+b)(a+c) son:
The expressions a+bca+bc and (a+b)(a+c)(a+b)(a+c) are:
siempre iguales
always equal
nunca iguales
never equal
iguales cuando a+b+c=1a+b+c=1
equal when a+b+c=1a+b+c=1
iguales cuando a+b+c=0a+b+c=0
equal when a+b+c=0a+b+c=0
iguales solamente cuando a=b=c=0a=b=c=0
equal only when a=b=c=0a=b=c=0
Respuesta: C
Conceptos:algebraic expansionsufficient conditionequality
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Desarrolla (a+b)(a+c)(a+b)(a+c)
Expand (a+b)(a+c)(a+b)(a+c)
Pista grande:
Resta a+bca+bc y factoriza la diferencia
Subtract a+bca+bc and factor the difference
Solución:
La diferencia es (a+b)(a+c)−(a+bc)=a2+ab+ac−a=a(a+b+c−1). \begin{aligned} &(a+b)(a+c)-(a+bc)\\ &\qquad=a^2+ab+ac-a\\ &\qquad=a(a+b+c-1). \end{aligned} En particular, siempre que a+b+c=1,a+b+c=1, esta diferencia es cero y las expresiones son iguales.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The difference is (a+b)(a+c)−(a+bc)=a2+ab+ac−a=a(a+b+c−1). \begin{aligned} &(a+b)(a+c)-(a+bc)\\ &\qquad=a^2+ab+ac-a\\ &\qquad=a(a+b+c-1). \end{aligned} In particular, whenever a+b+c=1,a+b+c=1, this difference is zero and the expressions are equal.
Thus, the correct answer is C.

48.

Se da el triángulo ABCABC con medianas AE‾,\overline{AE}, BF‾,\overline{BF}, CD‾;\overline{CD}; FH‾\overline{FH} es paralelo a AE‾\overline{AE} y tiene la misma longitud; se trazan BH‾\overline{BH} y HE‾\overline{HE}; la prolongación de FE‾\overline{FE} corta a BH‾\overline{BH} en G.G. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente correcta?
Given triangle ABCABC with medians AE‾,\overline{AE}, BF‾,\overline{BF}, CD‾;\overline{CD}; FH‾\overline{FH} parallel and equal in length to AE‾;\overline{AE}; BH‾\overline{BH} and HE‾\overline{HE} are drawn; FE‾\overline{FE} extended meets BH‾\overline{BH} in G.G. Which one of the following statements is not necessarily correct?
AEHFAEHF es un paralelogramo
AEHFAEHF is a parallelogram
HE‾=HG‾\overline{HE}=\overline{HG}
BH‾=DC‾\overline{BH}=\overline{DC}
FG‾=34AB‾\overline{FG}=\dfrac34\overline{AB}
FG‾\overline{FG} es una mediana del triángulo BFHBFH
FG‾\overline{FG} is a median of triangle BFHBFH
Respuesta: B
Conceptos:mediansvectorsparalelogramoaffine geometry
Nivel de dificultad: 2310
Pista pequeña:
Sitúa A=(0,0),A=(0,0), B=(2,0),B=(2,0), C=(u,v)C=(u,v) y calcula los puntos medios D,E,FD,E,F
Place A=(0,0),A=(0,0), B=(2,0),B=(2,0), C=(u,v)C=(u,v) and compute the midpoints D,E,FD,E,F
Pista grande:
Usa FH→=AE→\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE} y después localiza GG donde BHBH alcanza la altura v2\frac{v}{2}
Use FH→=AE→\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}, then locate GG where BHBH reaches height v2\frac{v}{2}
Solución:
Sea A=(0,0),A=(0,0), B=(2,0),B=(2,0), C=(u,v).C=(u,v). Entonces D=(1,0),E=(u+22,v2),F=(u2,v2). \begin{aligned} D&=(1,0),\\ E&=\left(\frac{u+2}{2},\frac v2\right),\\ F&=\left(\frac u2,\frac v2\right). \end{aligned} Como FH→=AE→,\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}, obtenemos H=(u+1,v).H=(u+1,v). La recta horizontal FEFE corta a BHBH a mitad de camino de BB a H,H, en G=(u+32,v2).G=(\frac{u+3}{2},\frac{v}{2}). Estas coordenadas verifican que AEHFAEHF es un paralelogramo, BH→=DC→,\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DC}, FG=3AB4,FG=\frac{3AB}{4}, y GG es el punto medio de BH,BH, por lo que FGFG es una mediana. Pero HE=12u2+v2,HG=12(u−1)2+v2, \begin{aligned} HE&=\frac12\sqrt{u^2+v^2},\\ HG&=\frac12\sqrt{(u-1)^2+v^2}, \end{aligned} que no son iguales en general.
Por lo tanto, la afirmación B no es necesariamente correcta.
Set A=(0,0),A=(0,0), B=(2,0),B=(2,0), C=(u,v).C=(u,v). Then D=(1,0),E=(u+22,v2),F=(u2,v2). \begin{aligned} D&=(1,0),\\ E&=\left(\frac{u+2}{2},\frac v2\right),\\ F&=\left(\frac u2,\frac v2\right). \end{aligned} Since FH→=AE→,\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{AE}, we get H=(u+1,v).H=(u+1,v). The horizontal line FEFE meets BHBH halfway from BB to H,H, at G=(u+32,v2).G=(\frac{u+3}{2},\frac{v}{2}). These coordinates verify that AEHFAEHF is a parallelogram, BH→=DC→,\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DC}, FG=3AB4,FG=\frac{3AB}{4}, and GG is the midpoint of BH,BH, making FGFG a median. But HE=12u2+v2,HG=12(u−1)2+v2, \begin{aligned} HE&=\frac12\sqrt{u^2+v^2},\\ HG&=\frac12\sqrt{(u-1)^2+v^2}, \end{aligned} which are not generally equal.
Thus, statement B is not necessarily correct.

49.

Las gráficas de y=x2−4x−2y=\dfrac{x^2-4}{x-2} y y=2xy=2x se cortan en:
The graphs of y=x2−4x−2y=\dfrac{x^2-4}{x-2} and y=2xy=2x intersect in:
un punto cuya abscisa es 22
one point whose abscissa is 22
un punto cuya abscisa es 00
one point whose abscissa is 00
ningún punto
no points
dos puntos distintos
two distinct points
dos puntos idénticos
two identical points
Respuesta: C
Conceptos:rational functionremovable discontinuitygraph intersection
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Factoriza x2−4x^2-4, pero conserva la restricción original x≠2x\ne2
Factor x2−4x^2-4, but keep the original restriction x≠2x\ne2
Pista grande:
Compara la intersección algebraica de las rectas simplificadas con esa restricción del dominio
Compare the algebraic intersection of the simplified lines with that domain restriction
Solución:
Para x≠2,x\ne2, x2−4x−2=x+2. \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. Las rectas y=x+2y=x+2 y y=2xy=2x se cortarían en x=2, y=4.x=2,\ y=4. Pero x=2x=2 está excluido de la función racional original, de modo que ese punto es un hueco y no hay intersección.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
For x≠2,x\ne2, x2−4x−2=x+2. \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. The lines y=x+2y=x+2 and y=2xy=2x would meet at x=2, y=4.x=2,\ y=4. But x=2x=2 is excluded from the original rational function, so that point is a hole and there is no intersection.
Thus, the correct answer is C.

50.

Para adelantar a BB, que va a 4040 millas por hora en una carretera de dos carriles, A,A, que va a 5050 millas por hora, debe ganar 3030 pies. Mientras tanto, C,C, a 210210 pies de A,A, se dirige hacia él a 5050 millas por hora. Si BB y CC mantienen sus velocidades, para adelantar con seguridad AA debe aumentar su velocidad en:
In order to pass BB going 4040 mph on a two-lane highway A,A, going 5050 mph, must gain 3030 feet. Meantime, C,C, 210210 feet from A,A, is headed toward him at 5050 mph. If BB and CC maintain their speeds, then, in order to pass safely, AA must increase his speed by:
3030 millas por hora
3030 mph
1010 millas por hora
1010 mph
55 millas por hora
55 mph
1515 millas por hora
1515 mph
33 millas por hora
33 mph
Respuesta: C
Conceptos:velocidad relativarate-time-distancepassing
Nivel de dificultad: 1870
Pista pequeña:
Sea vv la nueva velocidad de AA e iguala el tiempo de adelantamiento al tiempo antes de que AA y CC se encuentren
Let vv be AA’s new speed and equate the passing time to the time before AA and CC meet
Pista grande:
Usa distancias y velocidades relativas: 30v−40=210v+50\frac{30}{v-40}=\frac{210}{v+50}
Use relative distances and speeds: 30v−40=210v+50\frac{30}{v-40}=\frac{210}{v+50}
Solución:
Sea vv la nueva velocidad de AA. Con respecto a B,B, AA gana a v−40v-40 millas por hora, por lo que el tiempo de adelantamiento es proporcional a 30v−40.\frac{30}{v-40}. AA y CC cierran su separación de 210210 pies a v+50v+50 millas por hora, de modo que su tiempo hasta encontrarse es proporcional a 210v+50.\frac{210}{v+50}. En el instante límite para adelantar con seguridad, 30v−40=210v+50. \frac{30}{v-40}=\frac{210}{v+50}. Así, 30v+1500=210v−8400,30v+1500=210v-8400, lo que da v=55v=55 millas por hora. AA debe aumentar su velocidad original en 55 millas por hora.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let vv be AA’s new speed. Relative to B,B, AA gains at v−40v-40 mph, so the passing time is proportional to 30v−40.\frac{30}{v-40}. AA and CC close their 210210-foot separation at v+50v+50 mph, so their meeting time is proportional to 210v+50.\frac{210}{v+50}. At the limiting safe time, 30v−40=210v+50. \frac{30}{v-40}=\frac{210}{v+50}. Thus 30v+1500=210v−8400,30v+1500=210v-8400, giving v=55v=55 mph. AA must increase his original speed by 55 mph.
Therefore, the correct answer is C.
LIVE por Po-Shen Loh
Programas

Clases en Vivo

Clases a tu Ritmo

Estrellas de Escuela Secundaria

Beca

Matematica de Concurso

Concursos Pasados

Resultas En Vivo

Lista de Concursos

2024 MATHCOUNTS

2025 AMC 8 Soluciones

Math Kangaroo

mathleague.org

Sobre Nosotros

Quien es Po-Shen Loh?

Contacto de Correo Electronico

Letra de Noticia

Trabajos

Ser Instructor Estrella

Legal

Terms of Use

Privacy Policy

COPPA Policy

For a more Thought Full world.

© 2026 Expii, Inc.