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1957 AMC 12 Problema 44

Intenta el Problema 44 del 1957 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1957 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

44.

En el triángulo ABC,ABC, AC=CDAC=CD y ∠CAB−∠ABC=30∘.\angle CAB-\angle ABC=30^\circ. Entonces ∠BAD\angle BAD es:
In triangle ABC,ABC, AC=CDAC=CD and ∠CAB−∠ABC=30∘.\angle CAB-\angle ABC=30^\circ. Then ∠BAD\angle BAD is:
30∘30^\circ
20∘20^\circ
2212∘22\frac12^\circ
10∘10^\circ
15∘15^\circ
Respuesta: E
Conceptos:triángulo isóscelespersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Como AC=CD,AC=CD, el triángulo ACDACD es isósceles
Because AC=CD,AC=CD, triangle ACDACD is isosceles
Pista grande:
Expresa ∠CDA\angle CDA usando ∠DAB\angle DAB y ∠ABC\angle ABC
Express ∠CDA\angle CDA using ∠DAB\angle DAB and ∠ABC\angle ABC
Solución:
Sea α=∠CAB,\alpha=\angle CAB, β=∠ABC,\beta=\angle ABC, y x=∠BAD.x=\angle BAD. Como DD está sobre BC,BC, ∠ADC=x+β \angle ADC=x+\beta por ser un ángulo exterior del triángulo ABD.ABD. Como AC=CD,AC=CD, el triángulo ACDACD es isósceles, así que ∠CAD=∠ADC.\angle CAD=\angle ADC. Pero ∠CAD=α−x.\angle CAD=\alpha-x. Por tanto, α−x=x+β, \alpha-x=x+\beta, de modo que 2x=α−β=30∘2x=\alpha-\beta=30^\circ y x=15∘.x=15^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let α=∠CAB,\alpha=\angle CAB, β=∠ABC,\beta=\angle ABC, and x=∠BAD.x=\angle BAD. Since DD lies on BC,BC, ∠ADC=x+β \angle ADC=x+\beta as an exterior angle of triangle ABD.ABD. Because AC=CD,AC=CD, triangle ACDACD is isosceles, so ∠CAD=∠ADC.\angle CAD=\angle ADC. But ∠CAD=α−x.\angle CAD=\alpha-x. Hence α−x=x+β, \alpha-x=x+\beta, so 2x=α−β=30∘2x=\alpha-\beta=30^\circ and x=15∘.x=15^\circ.
Thus, the correct answer is E.

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